Операторный метод анализа переходных процессов

Основан на применении преобразования Лапласа к временным функциям. Метод позволяет оперировать с изображениями временных функций и благодаря ряду свойств преобразования перейти от решения дифференциальных уравнений к решению алгебраических при расчете переходных процессов.

Основой метода является, как уже отмечалось, переход от функций времени к их изображениям. Соответствие функции х(t) и её изображения X(p) обозначается как x(t)X(p) и устанавливается с помощью преобразования Лапласа:

После выполнения требуемых преобразований осуществляется обратный переход в виде обратного преобразования Лапласа:

В последних выражениях p — комплексное число, называемое оператором преобразования; _o - некоторое действительное число. Функция x(t) имеет изображение, если удовлетворяет условию:

Таблица 1. Основные свойства преобразования Лапласа

Соотношение	Пояснение
	Изображение константы
	Умножение на константу
	Изображение суммы
	Теорема дифференцирования
	Повторное применение теоремы дифференцирования
	Теорема интегрирования
	Теорема запаздывания
	Теорема смещения
	Предельные соотношения
	Изображение экспоненциальной функции
	Теорема разложения
	Произведение изображений (теорема свертки)

Непосредственное использование соотношений преобразования Лапласа достаточно громоздко, и к нему приходится прибегать достаточно редко, т.к. существуют таблицы соответствия изображений и оригиналов, а также некоторые специальные теоремы, позволяющие выполнить обратный переход (он обычно более затруднителен) для особых случаев (см. напр. Г. Корн Т. Корн Справочник по математике.; Дидкина В.А., Прудникова А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965 г.).

Рассмотрим некоторые из свойств прямого преобразования Лапласа (таблица 1).

При использовании операторного метода неизвестные токи и напряжения ветвей электрической цепи, а также токи и напряжения независимых источников энергии заменяются их изображениями. Затем составляются операторные уравнения для изображений токов и напряжений, которые решаются для неизвестных величин как обычные алгебраические уравнения. Далее, применяя обратное преобразование Лапласа, находятся оригиналы токов и напряжений в функции времени.

Одно из достоинств использования преобразования Лапласа состоит в том, что в силу третьего свойства, перечисленного в таблице, законы Кирхгофа для изображений токов и напряжений в цепи в операторном виде записываются, как и для обычных функций времени:

Здесь m - количество ветвей, сходящихся к одному узлу, n - количество ветвей, входящих в замкнутый контур.

Рассмотрим соотношения для записи операторных уравнений электрического равновесия в цепях R, L, C.

Для сопротивления во временной области: u(t) = Ri(t). Для него, в соответствии с теоремой об умножении на константу, справедлив переход: U(p)=RI(p).

Емкость описывается следующим уравнением во временной области:

.

Или, переходя к интегральной записи:

.

Первому соотношению соответствует в операторном виде уравнение:

.

Второму:

.

Н есложно показать, что первое уравнение может быть получено из второго и наоборот. Приведенным операторным соотношениям соответствуют эквивалентные схемы замещения (рис. 3.10). В них X_c=1/pc; Y_c=pc — операторные сопротивление и проводимость соответственно.

Индуктивность описывается уравнением: ;

или, что, то же самое:

В операторном виде указанные уравнения имеют вид:

.

Т аким образом, индуктивное операторное сопротивление: X_L(p)=pL, а проводимость: Y_L(p)=1/pL. Эквивалентные операторные схемы замещения для индуктивности имеют вид рис. 3.11:

Сравнивая символический метод анализа установившегося режима в цепях переменного синусоидального тока и операторный метод анализа переходных процессов, можно видеть, что структура основных уравнений и вид эквивалентных схем близки, если комплексную частоту j заменить на оператор p преобразования Лапласа. В операторном методе появляются лишь дополнительные независимые источники тока или ЭДС, характеризующие ненулевые начальные условия элементов схемы.