10. Модификация метода Ньютона для решения нелинейных ур-ний.

Если . f (х) мало изменяется в окрестности корня , чтобы избежать многократного вычисления f(x),прим.модифицированный метод Ньютона, т.е. k=0,1,2,… (13)Геом. это означает, что к кривой f(x) проводят касательную в точке , и находят пересечение x₁ этой касательной с осью абсцисс. В точке к кривой f(x) проводят отрезок, параллельно построенной касательной, получаем точку x₂ и т.д.

Это позволяет уменьшить объем необходимых операций. Сходимость процесса обеспечивается при тех же условиях, что и для метода Ньютона, но при этом предъявляется меньше требований к выбору нач. приближения. Однако метод (13) обладает лишь линейной сходимостью, т.е. для него выполняется неравенство вида (14)

Достаточное условие сходимости метода (13), как и метода Ньютона можно выразить:

Если на отрезке [a,b] функция f(x) является дважды непрерывно дифференцируемой и для любой точки этого отрезка выполняется не-во (8), т.е. , то метод Ньютона сходится от любой точки . Соотношение (8) можно записать как (15) Если при неудачном выборе нач. приближения посл-сть значений f(x_k) не является монотонно убывающей, то можно исп. модифицированный метод Ньютона(Ньютона-Бройдена) и определяется алгоритмом k=0,1,2,… (16) Параметр - число, которое выбирается на каждой итерации,чтобы вып-ось нер-воf(x_k+1)< f(x_k) k=0,1,2,… (17).

при плохой сходимости выбирают значение , а при хорошей сходимости . Если , имеем метод Ньютона. Для выбора значения параметра используют метод половинного деления: . При вычислении нер-ва (17), в котором вычисляется по формуле (16) имеем

k=0,1,2,… (18) значение параметра должно быть таким, чтобы неравенство (18) стало верным.

Определенные сложности могут возникнуть при вычислении численными методами кратных корней. Существует модификация метода Ньютона (метод Ньютона с параметром) для построения итерационной последовательности в случае корня кратности p.

k=0,1,2,… (19)

11. Решение нелинейных уравнений. Метод секущих

В методе Ньютона на каждой итерации необходимо вычислять значение функции и ее производной. На практике применяют методы, которые требуют вычисления на каждой итерации только значения функции. Заменим в методе Ньютона производную в точке разделенной разностью по двум точкам , т.е. (1)

Получаем итерационную формулу

k=1,2,…-Формула (2) наз.методом секущих для f(x)=0. Геом. интерпретация метода состоит в следующем. Проведем секущую через 2 точки кривой f(x) с координатами .Пересечение этой секущей с осью абсцисс дает приближение .

Метод секущих явл. двухшаговым,(новое приближение определяется 2мя предыдущими итерациями и ). Метод секущих сходится медленнее метода Ньютона, вблизи корня его скорость сходимости определяется соотнош.

(3)

Объем вычислений на каждой итерации метода секущих гораздо меньше, т.к. не нужно вычислять значение производной. В знаменателе формулы (2) стоит разность значений функции на 2ух соседних итерациях. Вдали от корня это несущественно, но вблизи корня, особенно корня высокой кратности, значения функции малы по величине и близки между собой.Разность этих значений стремится к 0, и может возникнуть потеря значащих цифр. Это ограничивает точность, с которой можно найти корень. По этой же причине потери точности не следует приводить формулу (2) к общему знаменателю. На практике в результате потери точности возникает неустойчивость счета – осцилляции.