39 Использ. Интерпо. Фо-мул для решен задачи числ. Дифференц

Многие формулы числ. дифф. могут быть получены вследствие интерполяции, т.е. таблично заданную функцию y(x) нужно заменить ее интерполяционным многочленом, и затем вычислить производные этого многочлена, используя его явное представление.

В качестве примера рассмотрим процесс получения формул численного дифференцирования, в основе которых лежит многочлен Лагранжа, построенный для функции y(x) по трем узлам . Будем полагать, что сетка произвольная, и введем обозначения , .Тогда . Полином Лагранжа второй степени, построенный по узлам имеет вид

(1)

Найдем первую производную от этого многочлена (1), имеем

(2)

Выражение (2) можно принять за значение первой производной функции y'(x) в любой точке отрезка .Перепишем выражение (2) следующим образом

(3)

Здесь , . Если сетка равномерная, т.е. , мы получим формулу

( 4)

И если при этом , то получим центральную разностную производную

(5)

Если использовать интерполяционный многочлен первой степени, то аналогичными рассуждениями можно получить правую и левую разностные производные.

Известно, что порядок погрешности аппроксимации интерполяционного многочлена зависит от расположения узлов интерполирования и порядка интерполяционного многочлена.

(6)

Найдем погрешность аппроксимации первой производной функции y(x), найденной по интерполянте.

(7)………………………

40 Улучшение аппроксим. Произв.(фо-лы Рунге-Ромберга)

С увеличением числа узлов эти соотношения становятся более громоздкими, следовательно

1. увеличивается объем вычислений,

2. усложняется оценка точности результата, (т.к. она требует дополнительно привлечения узла )

3. накапливаются вычислительные погрешности.

Существует более простой и эффективный способ получения высокого порядка точности производной, т.е. уточнения решения при фиксированном числе узлов. Этот метод называется методом Рунге-Ромберга. Он состоит в том, что проводятся повторные расчеты по одной формуле с различными шагами.

Пусть в общем случае F(x) – функция, заданная своими значениями на равномерной сетке с шагом h. Функция F(x) подлежит аппроксимации (у нас - F(x) – это производная). Пусть f(x,h) - некоторая приближенная аппроксимация (конечно-разностная) функции F(x) на той же равномерной сетке с шагом h. R(x,h) – погрешность аппроксимации.

Предположим, что погрешность аппроксимации можно записать следующим образом (1)

Здесь - основной (главный) член погрешности, - остаточный член погрешности. Запись в таком виде означает, что аппроксимирующая формула с погрешностью вида (1) имеет р-ый порядок точности. Тогда выражение для аппроксимации функции F(x) (производной) в общем случае можно представить следующим образом (2)

Предположим, что проведены две серии расчетов для одной и той же точки х по одной и той же приближающей формуле, но при этом использованы соответственно сетки с шагами h и h1=kh. Запишем соотношение (2) в точке х для сетки с шагом h1=kh. (3)

Приравняем правые части(2)и(3) (4)

учтем, что , имеем (5)

Найдем из (5) выражение для основного (главного) члена погрешности аппроксимации производной (6)

найденное выражение погрешности аппроксимации производной (6) в (2) получаем (7)

Эта формула (7) называется формулой Рунге и позволяет по результатам двух расчетов значений производной f(x,h) и f(x,kh) с порядком точности p и с шагами соответственно h, kh найти уточненное значение производной с порядком точности p+1. Этот метод является достаточно простым, но очень эффективным и применим в большом числе случаев.