4 Решение нелинейных уравнений. Отделение корней.

Рассматривая вопрос об отделении корней задачи f(x)=0 (1), следует отметить, что не существует каких-либо общих приемов решения указанной задачи для произвольной функции f(x).Для случая отделения действительных корней можно использовать следующие приемы.

1. Аналитический способ. В этом случае средствами математического анализа исследуется функция f(x) на наличие нулей.

2. Графический способ. Учитывая, что корни уравнения (1) - это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график этой функции и отметить на оси ОХ отрезки, содержащие по одному корню.

Иногда удобнее строить графики двух функций f1(x) и f2(x) и отмечать отрезки, которые локализуют абсциссы точек пересечения этих графиков. При этом предполагается, что f(x)= f1(x) + f2(x) и следовательно f1(x) = - f2(x).

Т.о, чтобы на заданном отрезке [а,в] имелся корень, достаточно, чтобы на концах этого отрезка функция принимала значения разных знаков.

Теорема. Если непрерывная (!) функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b].т.е. f(а)*f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится по крайней мере один корень уравнения f(x)=0., т.е. хотя бы одно такое число x*[а,в], что f(x*)=0. Корень x* будет единственным, если функция f(x) монотонная, т.е. функция существует и сохраняет знак внутри отрезка [a,b].

1. Табличный метод отделения корней. Нужно вычислить таблицу значений функции f(x) в некоторых заданных точках х_k[a,b], k=0,1,2,…n. Как правило точки выбираются равноудаленными с шагом дискретизации h, т.е., х_k+1= х_k+ h. Если обнаружится, что при некоторых значениях х_k значения f(х_k), f(х_k+1) имеют разные знаки, то на основании теоремы можно предположить, что на интервале [х_k, х_k+1] уравнение (1) имеет по крайней мере один действительный корень. (точнее нечетное количество корней). Чтобы уточнить количество корней на интервале [х_k,х_k+1], процедуру вычисления значений функции можно повторить, но для интервалов [х_k, х_k+1], внутри которых функция f(x) меняет знак. Этот способ не позволяет гарантированно утверждать о количестве корней внутри найденного промежутка. Чтобы полностью отделить корни, необходимо отследить все перемены знака произвольной функции f(x).Надежность табличного подхода к отделению корней зависит как от характера функции f(x), так и от величины шага дискретизации h отрезка [a,b]. Если значения f(х_k), f(х_k+1) имеют один знак на концах текущего отрезка [х_k,х_k+1], то естественно предположить, что на этом отрезке корней нет. Однако, если для f(x) не соблюдается условие монотонности, может оказаться, что на этом отрезке имеется четное количество корней.

И даже, если f(x)*f(x+h)<0, может оказаться, что на этом интервале имеется нечетное количество корней. Поэтому при отделении корней табличным методом следует выбирать достаточно малые значения шага дискретизации h.