35. Задача интерполяции в общей постановке

Требовалось найти простую формулу, расчет по которой позволяет определить значение функции y(x) в любой точке отрезка [a,b].

Интерполяция позволяет сравнительно легко решать поставленную задачу, но при этом, во-первых, относительно интерполируемой функции вводилось априорное предположение, что она обладает производными до некоторого порядка. Во-вторых, точность аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка нескольких шагов сетки. В-третьих, для следующего интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяционной формулы. В-четвертых, погрешность интерполяции оценивалась, исходя из предположения точного совпадения значений исходной и построенной функций. Но если в табличных значениях исходной функции присутствует погрешность (например, погрешность измерений), то такое применение строгого равенства неразумно. В-пятых, если исходная функция рассматривается на достаточно большом интервале, то желательно иметь простой вид аппроксимирующей функции на всем интервале, а не применять кусочную интерполяцию.

Поэтому возникает другая, близкая к интерполяции, задача определения вида функциональных зависимостей, получаемых в физическом эксперименте. Обычно экспериментальные результаты представляются в виде таблиц или сеточных функций вида , где _i - погрешности измерений. Если построить график такой функции, то получится ломаная. Ф орма этой ломаной из-за ошибок измерений при повторном эксперименте не воспроизводится. В этом случае задача состоит в том, чтобы построить такую кривую, которая в известном смысле будет наилучшим образом аппроксимировать исходную таблично функцию, заданную со случайными погрешностями в узловых точках . Таким образом, требуется построить функцию, приближающую исходную не по точкам,

а в среднем, т.е. в некоторой норме . Фактически нас интересует две задачи. Первая – аппроксимация с заданной точностью: по заданному  найти такую функцию f(x), чтобы выполнялось неравенство . Вторая задача состоит в нахождении наилучшего приближения, т.е. необходимо построить такую функцию , удовлетворяющую соотношению .

При решении этой задачи интерполированием имеем систему линейно-независимых функций и образуем линейную комбинацию

(1)

где - коэффициенты, которые определяются из выполнения условия интерполяции

(2)

В развернутом виде эта система (2) записывается следующим образом

(3)

………………………………

36. Наилучшее приближение функции, заданной таблично

Если при решении задачи интерполирования количество базисных функций окажется меньше количества узлов сетки, участвующих в аппроксимации, т.е. m<n, то задача интерполирования становится переопределенной. В этом случае рассматривают задачу о наилучшем приближении функции, которую можно сформулировать следующим образом.

Пусть имеем сетку ,в узлах которой известны значения функций y(x), а также задана система линейно независимых функций . Построим обобщенный многочлен (1)

Будем рассматривать значения этого многочлена только в узлах сетки

(2)

и образуем разности вида (3)

Вектор r(x) характеризует отклонение точного значения функции y(x) в узлах сетки от ее приближенного значения, полученного с помощью обобщенного многочлена (2). Т.к. m<n, то не все компоненты вектора отклонения r(x) будут равны 0. Нулевые значения вектора принимают только m компонент . Поскольку между величинами m и n нет соответствия, то при определении коэффициентов обобщенного многочлена будут использоваться только m узлов и, значит, условия интерполяции будут выполняться только в m(!) узлах, которые можно выбрать произвольно. Чтобы оценить величину отклонения на отрезке [a,b], для вектора следует ввести ту или иную норму. Например:

(4)

(5)

Норма (4) называется среднеквадратичной, а (5) – равномерной. Задача о наилучшем приближении функции y(x), заданной таблично, состоит в том, чтобы найти значения коэффициентов , которые минимизируют норму вектора r. В зависимости от того, какой вид нормы выбирается для решения задачи наилучшего приближения, получим задачу с соответствующим названием. Если берем норму (4), получаем задачу о наилучшем среднеквадратичном приближении, а для нормы (5) будет задача о наилучшем равномерном приближении функции, заданной таблично.