24. Интерполяционный полином Лагранжа. Методы записи.
Интерполяционная
формула Лагранжа позволяет представить
интерполяционный многочлен в виде
линейной комбинации значений функции
в узлах интерполирования. Пусть исходная
сеточная функция задана в (n+1)-й
точке сетки
.
В общем случае сетка является неравномерной
с шагом
на каждом элементарном интервале
.Запишем
искомый многочлен в виде
(1) где
- значения функции в узлах интерполяции,
- коэффициенты, подлежащие определению.
Чтобы найти их явное значение, воспользуемся
условием интерполяции
(2)
Запишем
условие (2), подставив в правую часть
явное выражение интерполяционного
полинома (1), получаем
(3) Равенство (3) будет верным, если на
коэффициенты
наложить сл. условия
i=0,...,n
(4)
(4)
означает, что каждая из функций
k=0,1,…,n
имеет на отрезке [a,b]
“n”
корней, т.е. n
раз обращается в ноль на этом отрезке.
Следовательно, можем записать
в виде многочлена степени n.
(5) Учитывая условие (4) при значении
i=k,
т.е.
,
можем записать
(6) Т. о. коэффициенты
интерполяционного
многочлена (1) нах по формуле
(7)
Коэффициенты (7) наз. коэффициентами Лагранжа, а сам полином принимает вид
(8)
и называется интерполяционным полиномом Лагранжа.
25. Оценка погрешн. Интерп. Пол. Лагранжа. Примен. Пол. Лагранжа
Алгоритм построения
интерполяционного многочлена Лагранжа
значительно проще, чем путь решения
системы алгебраических уравнений. Число
арифметических действий при построении
формулы (8) пропорционально
.
Коэффициенты Лагранжа (7) определяются лишь узлами сетки и точкой «х», в которой необходимо вычислить значение многочлена. Если в некоторой точке x* требуется вычислить значения нескольких интерполируемых функций f1(x*), f2(x*),…на одной и той же сетке ,то коэффициенты Лагранжа для всех исходных функций подсчитываются только один раз.
Для контроля
правильности расчетов по формуле
Лагранжа, можно использовать тот факт,
что в точке расчета x
сумма всех коэффициентов Лагранжа равна
единице. Действительно, если предположить,
что во всех узлах сетки сеточная функция
равна 1, т.е.
,
то по условию интерполяции
и можем записать
Формула Лагранжа применяется как для равноотстоящих узлов, так и для неравномерной сетки.
Оценка погрешности
интерполяции в некоторой произвольной
фиксированной точке
имеет вид
(15)
Оценка максимальной погрешности интерполяции в любой точке имеет вид
(16)
В частности, если
исходная табличная функция y(x)
является алгебраическим многочленом
n-ой
степени, то интерполирование, проведенное
по n
узлам будет точным, т.е.
.
Однако, если формулу Лагранжа применять
для решения задачи экстраполирования,
то погрешность экстраполяции будет
значительно большей, чем рассчитанная
по формуле (14).
Если интерполируемая функция задана таблично, то при применении формул (15),(16) оценки погрешности потребуется численно определять величину максимального значения (n+1) производной. При этом следует учитывать, что при вычислении производных высокого порядка методами численного дифференцирования возникают большие погрешности.