19. Решение си-м ура-нии методом Ньютона для 2х ур-нии.

Для системы из 2х нелинейных уравнений вида

(11)

Метод Ньютона записывается следующим образом

(12)

Здесь

(13)

Если ввести обозначения

(14)

(15)

То метод Ньютона для системы двух

нелинейных уравнений можно записать (16)

Этот метод имеет линейную сходимость и более прост в численной реализации, т.к. на каждой итерации не нужно обращать матрицу . Иногда используют циклическое применение модифицированного метода Ньютона, когда матрица обращается через определенное количество итераций.Метод Ньютона с параметром имеет вид (18) -итерац. парам. Преимущества:квадратичная сходимость метода из хорошего начального приближения при условии невырожденности матрицы Якоби. Недостатки:

-Необх. задавать достаточно хорошее нач. приближение.Для этого нужен анализ физич.постановки задачи. При неудачном итерации могут расходиться.

-Необх. вычисления матрицы Якоби на каждой итерации. Это требует вычисления n² частных производных. По возможности следует прибегать к использованию преимуществ символьной математики.

-Необх. решения на каждой итерации СЛУ. Система может оказаться плохо обусловленной.

-Отсутствие глобальной сходимости для многих задач.

20. Сходимость итерационного процесса

запись системы в векторной форме (1) F( Х) = 0 (1)здесь – вектор-функция, определенная в лин. пространстве G. Найти такой вектор который при подстановке в систему (1) превращает ее в верное равенство.

Для одношаговых итерационных методов, записи в канонической форме

k=0,1,2… (2)где - числовой параметр, - невырожденная матрица размерности nn , задающая тот или иной итерационный метод, - вектор решения, k=0,1,… номер итерации. Предполагается, что начальное приближение задается каким-либо образом.

Когда матрица b и параметр  не зависят от номера итерации то (3)

S – отображение пространства G в себя. .

Говорят, что оператор S является сжимающим оператором на множестве G1G, с коэффициентом сжатия q, если существует число 0<q<1 такое, что для любых двух векторов из множества G1 выполняется нер-во Теорема(принцип сжимающихся отображений). Пусть вектор-функция (оператор) S определена на ограниченном множестве G1 с центром в точке Х⁰: G1={XG, ||X-X⁰|| r} и является сжимающим оператором на этом множестве с коэффициентом сжатия q. При этом

(5)

Тогда в окрестности точки оператор S имеет единственную неподвижную точку X* , т.е. корень уравнения (1) или (3) и итерационный метод сходится к X* при любом XG1. Для погрешности справедливы следующие оценки

(6)

Считается, что итерационный метод имеет хорошую сходимость, если q0.5.

По аналогии со скалярным случаем, из этой теоремы имеет место следствие, которое является достаточным условием, обеспечивающим выполнение неравенства (4) в кубической норме:

(8) ,

то итерационный процесс сходится, если начальное приближение выбрано из окрестности сходимости (окрестности решения)

(9)

S(X) - матрица Якоби оператора (вектор-функции) S(X), вычисленного в точке Х. (Кубическая норма имеет вид для всех )

21. Понятие о приближении функции.

Если говорят, что задана функция y(x), то это означает, что любому допустимому значению x сопоставлено значение y. Например,

1.y(x) м. б. определено как решение сложной задачи, в котором x играет роль параметра.

2. Прямое вычисление фу-ии при большом кол-ве значений аргумента будет невозможно.

3.Аналитическое выражение y(x) может быть достаточно громоздким,а вычислять эту функцию требуется неоднократно

4.Явная связь аргумента и функции неизвестна, т.е. невозможно записать такую связь в виде некоторой формулы. При этом задается некоторая таблица значений , i=0,1,2,…, как выражение существующей связи.

Имеется дискретное множество значений аргумента {x}, которому поставлено в соответствие мно-во значений функции {y}, т.е. мы имеем табличные функции , которые являются малоинформативными.Эти функции определены только в узлах некоторой сетки , которая характеризуется некоторым параметром h, -шагом сетки. Такая задача решается с помощью методов теории приближений (аппроксимации).

Однако получить эти значения даже при известном аналитическом выражении связи аргумента и функции чаще всего можно лишь при значительных затратах машинных и других ресурсов. Т.о. с точки зрения экономии времени и средств выгодно заменить функцию y(x) приближенной формулой (x), которая просто вычисляется и при этом «близка» в некотором смысле к функции y(x).Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию y(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией (x) так, чтобы отклонение в некотором смысле (x) от функции y(x) в заданной области было наименьшим. (x) - аппроксимирующей. Величину отклонения получают введением в аппроксимирующую функцию свободных параметров a={a1,a2,..,an} и соответствующим выбором их значений. .

Методы приближения различаются выбором различных по характеру условий согласованности функций и (x,a). Если приближение строится на некотором дискретном множестве точек { } и условия согласованности записываются применительно к некоторой точке сетки, то аппроксимация наз. точечной или дискретной. В этом случае дискретные условия согласованности записываются в виде нулевых невязок искомой функции и ее производных. (1)

где (p) – порядок производной, сетка является равномерной . При p=0 условие явл. функциональным и его традиционно называют интерполированием.

Если приближение строится на некотором дискретном множестве точек и условия согласованности представлены в виде интегралов аппроксимация наз. непрерывной или интегральной. (2)

Метод приближения при котором вып. условие (3)наз. интерполяцией или функциональным методом.

Метод приближения, построенный на основе условия (1) при p>0, называют дифференциальным.

Если совместно с условием (1) применяют интегральное условие, то метод называется интегро-дифференциальным.