1 Предмет мча.Особенности и задачи

Наука, изуч. численные м-ды, наз. численным анализом. Предмет «Численные методы» включает вопросы построения, применения и теор. обоснования алгоритмов приближенного решения разл. классов матем. задач. Теор. обоснование означает, что чис.ме-ды должны отвечать определенным требованиям: точность; устойчивость и сходимость к точному решению.

Сходимостью - стремление значения решения дискретной модели исходной задачи к соответствующему значению решения исходной матем модели при стремлении к 0 параметра дискретизации(например, шаг интегрирования).

Требование точности решения означает, что вычислительный алгоритм должен давать решение исходной задачи с заданной точностью >0 за конечное Q() число действий.

Метод наз. устойчивым по параметру, если решение непрерывно зависит от этого параметра. Другими словами, если малые погрешности параметра приводят к малым погрешностям в результате расчетов, то численный метод называется устойчивым.

Особенности МЧА:

• Конечномерность решаемой задачи, т.е. обязательная дискретизация исходной задачи путем перехода от функции непрерывного изменения аргумента к функции или функциям дискретного аргумента;

• Построенный алгоритм должен давать решение дискретной задачи за конечное число арифметических действий;

• Невозможность получения общего решения исходной задачи, численные методы дают только частное решение в виде таблицы чисел;

• Множественность, т.е. возможность решения одной и той же задачи различными методами;

• Непрерывное развитие и совершенствование численных методов вследствие быстрого развития вычислительной техники и возникновения новых задач;

• Реализуемость численного метода, т.е. ориентация численного метода на конкретный тип ЭВМ с характеристиками оперативной памяти и быстродействия, многопроцессорности и т.д., чтобы можно было получить результат за реальное время.

Задачи Численного анализа

1. Решение нелинейных уравнений и систем

2. Приближение (аппроксимация) функций

3. Численное интегрирование

4. Численное решение интегральных уравнений

5. Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем

2. .Этапы вычислительного эксперимента

Матем. модель – это описание наиболее существенных свойств изучаемого объекта или явления на языке математических понятий.Т.е. в основе технологии исследования сложных проблем лежит ме-д вычислительного эксперимента, который включает в себя следующие этапы:

1. Физическая постановка задачи. Результатом этого этапа является общая формулировка задачи в содержательных терминах, т.е. что дано и что требуется определить. Иначе можно сказать, что требуется описать объект исследования в терминах исследуемой предметной области

2. Поиск математической модели.На этом этапе осуществляется запись основных и дополнительных математических уравнений и соотношений, которые описывают задачу. Также необходимо на этом этапе провести предварительное (априорное) обоснование математической модели.

3. Разработка математического метода, наиболее целесообразного и экономичного. Этот этап проводят на основе имеющихся у исследователя знаний, а также исходя из ресурсов вычислительной техники – объема внешней и оперативной памяти, быстродействия, возможностей представления информации. Численный метод – это дискретная модель;

4. Составление алгоритма, выбор и разработка программной реализации дискретной модели (Программирование);

5. Решение задачи и анализ полученных результатов.

Средство изучения мат моделей и исследования на их основе свойств реальных объектов - аналитические методы, которые позволяют получить точные решения в виде математических формул. Эти методы дают наиболее полную информацию о решение задачи. Однако, класс задач, для аналитических методов, ограничен. Поэтому решение широкого класса задач, осуществляется на основе численных методов. Под чис ме-дом понимается такая интерпретация математической модели, которая доступна для реализации на ЭВМ. Построить численный метод – это значит построить «дискретную модель» изучаемого явления. В этом случае поиск решения исходной математической модели сводится к выполнению конечного числа арифметических действий над числами, а само решение может быть найдено в виде числа или таблицы чисел.