2.4. Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой) жидкости

Полученное уравнение Бернулли при определенных услови­ях можно распространить на поток реальной жидкости. Рассмотрим так называемое плавно изменяющееся движение жидкости, у которо­го наблюдается параллельно-струйное движение и давление по се­чению потока распределяется по гидростатическому закону ( = const).

Как известно, полная удельная энергия элементарной струйки

.

(2.24)

Умножим левую и правую части уравнения (2.24) на весовой рас­ход струйки gvdF, тогда полная энергия, которую переносит элементарная струйка через сечение dF в единицу времени,

.

(2.25)

Легко убедиться в том, что в левой и правой частях уравнения (2.25) будет размерность мощности. В силу того, что поток состоит из бесконечного множества элементарных струек, мощность потока в любом сечении

.

(2.26)

Разобьем интеграл в правой части выражения (2.26) на два:

.

(2.27)

Так как давление по сечению изменяется по гидростатическому закону, то

.

(2.28)

Рассмотрим второй интеграл и представим его в виде:

.

(2.29)

Интеграл (2.29) не берется, так как неизвестен закон рас­пределения скорости по сечению потока. Этот интеграл представ­ляет собой действительную кинетическую энергию, переносимую потоком через данное поперечное сечение в единицу времени (обоз­начим ее К_д).

Предположим, что значения скорости в каждой точке поперечного сече­ния потока одинаковы и равны средней скорости: . Тогда кинетическая энергия, подсчитанная по средней скорости,

.

(2.30)

Обозначим

,

(2.31)

тогда

.

(2.32)

Коэффициент носит название коэффициента неравномер­ности распределения скорости по сечению, или коэффициента ки­нетической энергии; он представляет собой отношение действи­тельной кинетической энергии весового секундного расхода по­тока к его кинетической энергии, вычисленной по средней скорости. Величина коэффициента  определяется опытным путем. Для турбулентного режима  = 1,1, для ламинарного – 2.

Подставляя значения интегралов (2.29) и (2.33) в (2.28), получим:

.

(2.33)

Разделим левую и правую части уравнения (2.33) на весовой расход потока gQ и получим:

,

(2.34)

где Н – полная удельная энергия жидкости, протекающей через рассматриваемое живое сечение потока в единицу времени, или полный напор в данном сечении.

Полученное выражение (2.34) справедливо для любого сечения потока, и если составить баланс энергий для двух сечений потока, то:

Н1 = Н2 + hw,

(2.35)

где h_w – потеря энергии между сечениями 1 и 2.

Следовательно, подставив в уравнение (2.35) значения , получим:

.

(2.36)

Уравнение (2.36) носит название «уравнение Бернулли для потока реальной жидкости» и является основным уравнением гидравли­ки, устанавливающим баланс энергии в потоке жидкости. В дальнейшем индексы «ср» у скорости ставить не будем, помня о том, что скорость в уравнении (2.36) является средней. Заметим, что практически все расчеты потоков производятся с помощью урав­нения Бернулли.