1.3.1. Равновесие жидкости в поле силы тяжести и силы инерции

(относительный покой жидкости)

Рассмотрим некоторые случаи, когда на жидкость кроме сил тяжести действуют другие силы инерции.

Пусть резервуар движется прямолинейно ускоренно с ускорением а (рис. 1.7).

П ри горизонтальном перемещении резервуара жидкость в нем будет находиться под действием сил давления, тяжести и инерции переносного движения, направленной в сторону противоположную направлению движения. При указанном расположении осей координат дифференциальное уравнение равновесия будет иметь вид:

(1.33)

После интегрирования получим:

(1.34)

Постоянная интегрирования С определяется следующим образом. Когда х=y=z=0, p=p₀, следовательно, С=p₀ и уравнение (1.34) запишется в виде:

(1.35)

Введем понятие «поверхность равного давления», или «поверхность уровня». Из названия понятия следует, что условием поверхности равного давления является dp=0, тогда уравнение (1.25) запишется в виде:

(1.36)

Это дифференциальное уравнение поверхности равного давления. Подставим в уравнение (1.36) значения ускорений, действующих на жидкость: Х=–а; Y=0; Z=g.

Получим:

(1.37)

После интегрирования

(1.38)

Это уравнение плоскости, которая наклонена к горизонту под углом γ, определяемым по формуле: tgγ=

1.3.2. Равновесие жидкости в поле силы тяжести в сосуде, равномерно вращающемся вокруг своей вертикальной оси

П усть сосуд наполнен жидкостью до некоторого первоначального уровня и вращается с угловой скоростью ω (рис. 1.8). При вращении на жидкость кроме силы тяжести действует центробежная сила, следовательно, Х=ω²х, Y=ω²y, Z=–g и основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме примет вид:

(1.39)

После интегрирования

(1.40)

Постоянную интегрирования найдем из условия, когда X=Y=Z=0, р=р₀ и С=р₀. Тогда

(1.41)

Найдем форму поверхности равного давления:

(1.42)

Проинтегрируем уравнение (1.42) и получим:

(1.43)

Выражение (1.43) является уравнением параболоида вращения.

1.4. Определение сил давления жидкости на плоские и криволинейные поверхности

Найдем силу давления жидкости на плоскую стенку (рис. 1.9). Для удобства рассуждений совместим наклонную стенку с плоскостью листа. Буквой С обозначим центр тяжести стенки, h_c – глубину погружения центра тяжести под уровень. Выберем на стенке элементарную малую площадку dF. Гидростатическое давление, действующее на площадку, р=ρgh (будем полагать, что атмосферное давление, передающееся на стенку через жидкость и действующее на стенку справа, уравновешивается). Тогда сила, действующая на площадку,

(1.44)

Так как h=l sin α, то

(1.45)

Р авнодействующая сил, действующих на все элементарно малые площадки, составляющие стенку,

(1.46)

Интеграл является статическим моментом стенки относительно оси АА:

.

(1.47)

Подставляя уравнение (1.47) в (1.46), получим:

(1.48)

Таким образом, сила избыточного гидростатического давления на плоскую стенку открытого сосуда равна гидростатическому давлению в центре тяжести стенки, умноженному на площадь стенки F.

Для расчетов недостаточно знать величину силы давления, а нужно знать, в какой точке эта сила приложена. Что касается направления этой силы, то известно (см. свойства гидростатического давления), что она направлена по нормали к стенке. Воспользуемся теоремой моментов, по которой момент равнодействующей силы равен сумме моментов сил, составляющих

(1.49)

или

(1.50)

отсюда

(1.51)

Интеграл представляет собой момент инерции стенки относительно оси АА – J_АА, следовательно,

(1.52)

Подставим в формулу (1.52) момент инерции стенки относительно оси АА

(1.53)

где J₀ – момент инерции стенки относительно оси, проходящей через центр тяжести стенки, получим:

(1.54)

Отсюда следует, что точка приложения силы полного давления (центр давления) расположена ниже центра тяжести стенки. При горизонтальном расположении стенки центр ее тяжести и центр давления совпадают.

Найдем силу давления жидкости на криволинейную поверхность.

Н а криволинейной стенке силы давления, действующие нормально к каждой элементарной площадке криволинейной поверхности, имеют разные направления, поэтому задача определения силы полного давления несколько усложняется.

Для простоты рассмотрим определение силы полного давления жидкости на правильную цилиндрическую поверхность (рис. 1.10).

Выберем на криволинейной поверхности АС элементарно малую площадку dF. По нормали к ней действует сила давления

dP=ghdF.

(1.55)

Разложим силу dP на две составляющие – dP_x и dP_z. Обозначив угол наклона силы dP к горизонту буквой , получим:

	d Px = dP cos  = gh dF cos  = gh dFz; dPz = dP sin  = gh dF sin  = gh dFx,	(1.56)

где dF_x, dF_z – проекции площадки dF на плоскости x и z.

Проинтегрируем выражения системы (1.56):

(1.57)

где h_c – глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции криволинейной стенки;

p_c – давление в центре тяжести F_z;

(1.58)

здесь h dF_x – объем элементарной призмы с основанием dF_x;

V – объем тела давления.

Объем тела давления в данном случае – это объем, ограниченный криволинейной стенкой и плоскостями x и z.

Определив составляющие P_x и P_z, легко найти суммарную силу давления:

(1.59)

Направление полного давления определяется углом :

(1.60)

Если жидкость находится слева (см. рис. 1.10), то величины P_x и P_z будут теми же, что и в предыдущем случае, но с обратным знаком. При этом под величиной P_z следует понимать вес жидкости в объеме тела давления, хотя этот объем и не заполнен жидкостью.