4. Ламинарное движение жидкости

4.1. Потери на трение при равномерном движении

П ри исследовании любого режима движения, в том числе ламинарного, ставится задача расчета потерь напора и поля скоростей. Рассмотрим установившееся равномерное движение жидкости в круглой цилиндрической трубе (рис. 4.1).

В соответствии с уравнением Бернулли

.

(4.1)

Выделим в движущейся жидкости объем диаметром 2r и длиной l. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема:

P1 – P2 – T = 0,

(4.2)

где Р₁ = p₁ r² – сила давления на сечение 1–1;

р₂ = p₂ r² – сила давления на сечение 2–2;

Т = 2rl – сила трения, действующая на поверхности цилиндра;

 – касательное напряжение.

Подставим значения Р₁, Р₂, Т в уравнение (4.2):

(p1 – p2) r2 – 2rl = 0.

(4.3)

Отсюда

,

(4.4)

где p_тр = p₁ – p₂ – потеря давления между сечениями 1–1 и 2–2.

Таким образом, устанавливается закон распределения каса­тельного напряжения по сечению потока. Закон этот линейный и свидетельствует о том, что в центре потока, когда r = 0,  = 0, а на стенке r = r₀ ,  = _max = . Эпюра касательного напряжения показана на рис. 4.1.

4.2. Поле скоростей и потери напора при ламинарном режиме движения жидкости

Для получения закона распределения скоростей по сечению потока запишем в соответствии с законом Ньютона:

.

(4.5)

Знак «минус» в правой части уравнения (4.5) обусловлен тем, что скорость от центра к стенке убывает, следовательно, градиент скорости имеет отрицательное значение. Приравниваем выражение (4.4) к (4.5):

,

(4.6)

разделим переменные:

;

(4.7)

возьмем интеграл:

.

(4.8)

Для определения постоянной интегрирования С подставим в уравнение (4.8) граничные условия: r = r₀, v = 0 (условия прили­пания жидкости к стенке), тогда

.

(4.9)

Отсюда получим закон распределения скоростей по сечению потока:

.

(4.10)

Уравнение (4.10) представляет собой параболоид вращения, т. е. при ламинарном режиме имеем параболический закон распределе­ния скоростей. В центре трубопровода, когда r = 0, скорость имеет максимальное значение:

,

(4.11)

а на стенке, где r = r₀, скорость равна нулю.

П рименим полученный закон распределения скоростей для рас­чета расхода. Рассмотрим элементарное кольцо толщиной dr (рис. 4.2). Рас­ход жидкости через это кольцо

(4.12)

или, так как dF = 2rdr,

.

(4.13)

Возьмем интеграл по всему сечению трубопровода:

,

(4.14)

найдем среднюю по сечению скорость:

.

(4.15)

Сравнив среднюю скорость с максимальной, убеждаемся в том, что

Определим значение коэффициента . Из уравнения (4.15) имеем

.

(4.16)

Умножим и разделим правую часть уравнения (4.16) на 2v_cp; кроме того, запишем, что р_тр = gh_тр, тогда,

.

(4.17)

Заменим в выражении (4.17) / =  и 2r₀ = d₀, получим:

.

(4.18)

Если сравнить уравнение (4.18) с общей формулой для расчета потерь по длине можно убедиться в том, что для ламинарного режима

.

(4.19)

Зная закон распределения скоростей, получим значение коэффициента  для ламинарного режима:

.

(4.20)

Обозначим , тогда

.

(4.21)

Итак, полученная кинетическая энергия ламинарного потока с параболическим распределением скоростей в два раза превышает кинетическую энергию, подсчитанную по средней скорости.

Изложенная теория хорошо подтверждается опытом, за исклю­чением следующих случаев: при течении на начальном участке трубы, где формируется поле скоростей; при течении со значительным теплообменом, так как неизотермичностъ существенно искажает поле скоростей.