10. Уравнение Лауэ. Уравнение Вульфа-Брегга.

Пусть две дифракционные решетки поставлены одна за другой так, что их штрихи взаимно перпендикулярны. Такая пластинка представляет собой двумерную периодическую структуру.

Впервые дифракция рентгеновских лучей от кристаллов наблюдалась в 1913 г. в опыте Лауэ.

Найдем условия образования дифракционных max-ов от трехмерной структуры. Проведем в направлениях, по которым св-ва структуры обнаруживают периодичность, координатные оси x, y, z (рис. 5.11.1). Структуру можно представить как совокупность равноотстоящих параллельных линейных цепочек из структурных элементов, расположенных вдоль одной из координатных осей. Рассмотрим действие отдельной линейной цепочки, ||, например,  оси  х (рис. 2). Пусть на нее падает пучок параллельных лучей, образующих с осью  х угол  .Каждый структурный элемент явл-ся источником вторичных волн. К соседним источникам падающая волна приходит с разностью фаз  ,где    (d₁ — период структуры вдоль оси х). Кроме того между вторичными волнами, распространяющихся в направлениях, образующих с осью х угол α (все такие направления лежат вдоль образующих конуса, осью которого служит ось х ), возникает дополнительная разность хода 

Под действием рентгеновского излучения каждый атом кристаллической решетки становится источником сферических волн той же частоты, что и падающих волн. Запишем условия Лауэ: ; ; ; где β₀ - угол между падающим пучком и осью y, β -угол, образуемый с осью y направлениями, вдоль которых получаются дифракционные максимумы. n₁, n_2, n₃ – целочисленные индексы, соответствующие направлению α,β, . Уравнения  носят название формул Лауэ.

Русский ученый Ю. В. Вульф и английские физики У. Г. и У. Л. Брэгги показали независимо друг от друга, что расчет дифракционной картины от кристаллической решетки можно провести также следующим простым способом.

Проведем через узлы КР || равноотстоящие плоскости (рис. 3.). В дальнейшем мы будем называть их атомными слоями. Если падающая на кристалл волна плоская, огибающая вторичных волн, порождаемых атомами, лежащими в таком слое, также будет представлять собой плоскость. Т.o, суммарное действие атомов, лежащих в одном слое, можно представить в виде плоской волны, отразившейся от усеянной атомами поверхности по обычным законам отражения. Плоские вторичные волны, отразившиеся от разных атомных слоев, когерентны и будут интерферировать между собой подобно волнам, посылаемым в данном направлении различ­ными щелями дифракционной решетки. При этом, как и  в случае решетки, вторичные волны  будут практически погашать друг друга во всех направлениях, кроме тех, для которых разность хода между соседними волнами явл-ся кратной λ.  Из рис.3  видно, что разность хода двух волн, отразившихся от соседних атомных слоев, равна   ,  где d — период идентичности кристалла в направлении, перпендикулярном к рассматриваемым  слоям, θ - угол, дополнительный к углу падения и называемый углом скольжения падающих лучей. Следовательно, направления, в которых получаются дифракционные максимумы, определяются условием: . Соотношение наз-ся формулой Вульфа — Брэгга. Заметим, что расчет по формулам Лауэ и расчет по формуле Вульфа — Брэгга приводят к совпадающим результатам.