28 Елементарні перетворення матриць

Елементарними називаються такі перетворення:

1. множення рядка (стовпця) на число, що не дорівнює 0;

2. дод до рядка(ст) іншого рядка (ст), помноженого на довільне число

3. переставлення будь-яких рядків(стовпців)

Дві матриці називаються еквівалентними, якщо кожна з них отримується з іншої за допомогою скінченої кількості елементарних перетворень. Якщо елементарні перетворення застосовуються до одиничної матриці Е то одержимо матрицю, яка є елементарною. Введемо позначення елементарних матриць:

Е_і(λ) – множення і-того рядка на число λ .

Е_ij(λ) – додавання і-того рядка j-того рядка, помноженого на λ.

Е_ij – переставлення і-того і j-того рядків Е.

З (3) випливає, що кожне елементарне перетворення з рядками В рівносильне множенню її зліва на відповідну елементарну матрицю.

З (2) випливає, що елементарні перетворення стовбців А рівносильні множенню її справа на елементарні матриці.

Е_і^т(λ)=Е_і(λ)

Е_ij^т=Е_ij

32. Компл числа. Тригонометрична форма комплексного числа

Комплексне число – вираз a + ib, де i – уявна один , a,b єR

z = a + ib - алгебраїчна форма комплексного числа

а – дійсна частина

b – уявна частина

Якщо b=0, то

Якщо а=0, то

Представлення z=a+ib – алгебраїчна формула комплексного числа.

Компл. числа можна представляти, як точки компл. площини. При цьому ОХ – дійсна вісь, а ОУ – уявна вісь. В багатьох випадках компл. число зручно представл, як радіус-вектор точки з координатами А,В.

М одулем КЧ назив число . Аргументом КЧ назив кут

arg z – гол знач аргумента arg z є (-π; π]

arctg b/a, a>0

arg z= π+arctg b/a, a<0, b>0

-π+arctg b/a, a<0,b<0

π, b=0,a<0

π/2(-π/2), a=0, b><0

Тригонометрична ф-ла: , - модуль φ – arg z.

33. Дії над компл. Числами. Ф-ла Муавра

1)

2)

3)

4) - розкривається за ф-лою бінома Ньютона

В тригонометричній формі:

z1=ρ1(cosφ1+isinφ1) z2=ρ(cosφ2+isinφ2)

1)

2)

Формула Муавра:  

k={0,1,…,(n-1)}

Показникова форма:

1)z1=ρ1e^iφ1 z2=ρ2e^iφ2

z1z2=ρ1ρ2e^i(φ1+φ2)

2)z1/z2=(ρ1/ρ2)∙e^i(φ1-φ2)

3)zⁿ=ρⁿe^inφ

4)

34. Операції над многочленами. Нсд

Многочленом n-го степеня назив. функція f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n де

а_і коефіцієнти, які є С(а_і є КЧ) і= , х є С

Операції над многочленами

f(x)= a₀xⁿ+…+a_n g(x)=b₀x^m+…+b_m n m

Сумою двох многочленів назив. многочлен f(x)+g(x)=c₀xⁿ+…+c_n де c_i є сумою коефіцієнтів при Х^n-і многочленів f(x) і g(x).

Добутком многочл f(x) і g(x) назив многочл f(x)g(x) коефіцієнти с_і якого є рез-том перемнож таких коеф многочл, що сума відповід степенів змінної = n-і та додав таких добутків.

Операції дода і множ комутативні, асоц і має місце дистрибутивність. (f(x)+g(x))q(x)=f(x)q(x)+g(x)q(x)

Протилежний многочлен до многочл f(x) – це многочл –f(x)=-a₀xⁿ-…-a_n. Оберненений многочлен визнач лише для многочленів 0-го степеня f^-1(x):=f(x)f^-1(x)=1

Введемо операцію ділення многочленів з остачею.

Теор. Для будь-яких многоч f(x) і g(x)  q(x), r(x) такі що f(x)=g(x)q(x)+r(x) причому степінь r(x) менший за степінь g(x), або r(x)=0

Доведення методом ділення куточком.

О.Мног (x) назив. дільником мног f(x) якщо  (x) такий,щоf(x)=(x)(x)

Властивості подільності многочленів

1) f(x) (x) та (x) r(x)f(x) r(x)

2) f(x) (x) і g(x) (x)(f(x) g(x)) (x)

3) f(x) (x)f(x)g(x) ) (x)

4) будь-який мног ділиться на будь-який ненул мног нульового степеня

5) Мног діляться один на одного,коли f(x)=cg(x) cєC,c0

НСД многочленів f(x) і g(x) відмінним від 0 назив. такий мног d(x) який є дільником кожного з них та сам ділиться на будь-який інший спіл діл цих многочленів НСД(f(x),g(x))=d(x)

Для знаходж НСД використ. Алгоритм Евкліда

1. f(x)=g(x)q₁(x)+r₁(x)

2. g(x)=r₁(x)q₂(x)+r₂(x)

3. r₁(x)=r₂(x)q₃(x)+r₃(x)

……………………………..

(к) r_k-2(x)=r_k-1(x)q_k(x)+r_k(x)

(к+1) r_k-1(x)=r_k(x)q_k+1(x)

d(x)=НСД(f(x),g(x))=r_k(x)

Доведення

(5)r_k-1 r_k

(4)r_k-2 r_k

………………….

(3)r₁ r_k

(2)g r_k

(1)f r_k

Звідси r_k спільний дільник f і g

Нехай (x) спільний дільник f і g. Доведемо,що r_k(x) (x)

(1)f ,g r₁ ……………………. (4)r_k-2 ,r_k-1 r_k 

Наслідок. Якщо f і g мають дійсні коефіц,то їх НСД теж буде мати дійсні коефіцієнти

Зауваження. В силу власт. 5 дільників многочленів маємо, що НСД визначений з точністю до многочлена 0-го степеня, тому можна вважати, що старший коефіцієнт НСД дорівнює 1

О.Многочлени f і g назив взаємнопростими, якщо їх НСД дорівнює 1

Теорема. Якщо d(x)=НСД(f(x),g(x)), то  u(x),v(x), що виконується f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)

Причому якщо степені f і g>0 то степінь u(x) менший степені g(x), а степінь v(x) менший степені f(x). Доведення спирається на алгоритм Евкліда(знизу вверх)

Наслідок: Якщо f(x) i g(x) взаємнопрості, то існують єдині u(x) ta v(x) такі, що f(x)u(x)+g(x)v(x)=1