25. Загальне рівняння кривої другого порядку.

Крив 2 порядку назив. множ точок площ, що задовольняють р-ня

З’ясуємо, що являє собою крива 2-го порядку геометрично. Для цього спочатку повернемо систему координат на кут проти годинникової стрілки так, щоб у рівнянні зник добуток .

Випишемо коефіцієнти при в рівнянні кривої

Якщо Якщо

Вважаємо, що поворот с-ми коорд відбувся, тоді р-ня кривої:

Розглянемо такі випадки:

1 . Зробимо заміну змінних

а) одного знаку протилежного С, тоді ця крива еліпс.

б) протилежних знаків, тоді на виході крива гіпербола.

в) одного знаку уявна крива

г) різних знаків – дві прямі, що перетинаються

д) одного знаку – дійсна точка

2 . Нехай

а) - парабола б) - різн знаків, пара парал пр в) - одн знаку, пара уяв пр г) - пара пр, що збіг

26. Види матриць. Лінійні операції над матрицями.

Матрицею А розмірів назив. сукуп чисел (елем матриці) розміщ у вигляді прямокутної таблиці, яка має m-рядків і n-стовпців

Мат А і В назив. рівними,якщо вони мають одн розм і їх відп елем рівні

Види матриць

1) Матриця, всі елементи якої рівні нулю назив. нульовою (θ)

2) матриця назив. квадр порядку n, якщо m=n. (інша-прямокутна)

3) М, що скл з одного стовпця (рядка) назив. матрицею-стовп (-ряд). Ці матриці також назив векторами.

4) М розм назив. транспон до М А, розмірів , якщо одерж з А перетвор стовпців у рядки з тим самим номером

5) М А назив. симетрич (кососиметричною), якщо

6) Діагонал елем М А назив. його ел , решта ел назив. позадіаг. Квадратна М А назив. діаг, якщо всі її позадіаг ел дорівнюють нулю.

Якщо всі діагональні ел рівні між собою, то така матр назив. скалярною. Якщо у такої матриці всі діаг ел дорівнюють 1, вона назив. одиничною.

( )

7) Якщо всі ел матриці розміщ нижче(вище)гол діаг = 0, то така М назив. верхньою(нижньою) трикут.

8) Квадратна М А назив. невиродж (виродж), якщо (det A=0)

Лінійні операції

Сумою матриць А і В однак розмірів назив. матр А+В тих же розм ел якої дорівн сумам відпов ел матриць А і В. - ij-ий ел М А+В

Добутком матриці А на число назив. М тих самих розмірів, що і А, ел якої є добутк відпов ел А на число

Властивості лінійних операцій над матрицями

1) 1 А=А 1=А

2) 0 А=А 0 = 0(нуль-матриця)

3)

4) А+В=В+А (комутативність)

5) А+(В+С)=(А+В)+С 6) (дистрибутивність)

7) 8) А+О=А 9)

10)

27 Множення матриць

Добутк матриці А (розмірів mхk) на матр В (kхn) називається матриця АВ розмірів m на n, елементи якої дорівнюють сумі добутків відповідних елементів і-го рядка А і j-го стовпця В. {AB}_ij=∑^k_s=1a_is*b_sj (1)

Множ матр можливе лише тоді, коли к-сть стовбців А = к-сті рядків В.

Властивості добутку матриць

1) α(АВ)=( αА)В=А(αВ)

2) (А+В)С=АС+ВС

3) А(В+С)=АВ+АС

4) (АВ)С=А(ВС)

5) (АВ)^т=В^тА^т

Доведення

Властивості 1-3 очевидні

{(AB)C}_ij A m*n, B p*k, C k*n

{(AB)C}_ij=∑^k_l=1 (∑^p_s=1a_isb_sl)c_lj

{(AB)C}_ij=∑^p_s=1a_is(∑^k_l=1b_sl c_lj) Одерж суми відрізн лише порядком доданків. Отже маємо рівність відпов ел

{(AB)^т}_ij={AB}_ij=∑^k_s=1a_jsb_si=∑^k_s=1{A^т}_sj{B^т}_is=∑^k_s=1{B^т}_is{A^т}_sj={B^т A^т }_ij

У загал випадку АВ≠ВА навіть можливо, що ВА – не існує .

Введемо поняття лінійної комбінації стовбців і рядків А. Позначимо і-тий рядок А а_і.=(а_і1,a_i2,...,a_in) a._j=(a_1j,a_2j,...,a_mj)^т

Лін комбінацією рядків матриці А називається сума ∑^m_i=1α_ia_i. , де α_i – дійсні, і=1,m

Лін комбінацією стовбців матриці А називається сума ∑ⁿ_j=1 β_ja._j , де β_j є R, j=1,n

Перепишемо формулу (1) у 2 випадках

{AB}._j=∑^k_s=1a._sb_sj (2) {AB}_i.=∑^k_s=1a_isb_s. (3)

Ф-ла (2) показує, що будь-який j-тий стовбець є лінійною комбінацією стовбців А при чому коефіцієнти утворюють j-тий стовбець В.

З (3) випливає, що і-тий рядок В є лінійною комбінацією рядків В. Коефіцієнти лінійної комбінації є елементами і-того рядка А. Отже, якщо треба працювати зі стовбцями (рядками) матриці то треба помножувати матрицю на відповідні матриці справа(зліва).