15. Векторне і нормальне рівняння площини.

z

P M

O y

X Обираємо в сист. координат т.Р; радіус-вектор ОР=р; складемо р-ня площини, що проходить через т.Р ┴OP. Рє(π), р┴(π). Візьмемо т.М, Мє(π)-поточна точка. r=OM – радіус-вектор т.М. РМ=r-р; РМ┴р; ↔РМ*р=0;

(r-p)p=0(1)- векторне р-ня площини.

Перейдемо в р-ні(1) до координатної форми р=│р│*е_р; │р│=р>0; е_р=n – орт нормалі до площини.

=(cosα;cosβ;cosγ)-орт ; =1

=p* ; =(x;y;z) Розглянемо (1)

- ²=0

xcosα+ycosβ+zcosγ-р=0 (2) – нормальне р-ня площини, де (cosα;cosβ;cosγ)-орт нормалі до площини, р- відстань площини від початку координат.

16. Загальне рівняння площини. Відстань та відхилення точки від площини.

Загальним р-ням площини в R₃ назив. лінійне р-ня вигляду:

(3) Ax+By+Cz+D=0, де A,B,C,DєR, A²+B²+C^2≠0. Покажемо, що р-ня (3) можна звести до p= xcosα+ycosβ+zcosγ(2) і навп. Домножимо (2)на р:

(2) ↔ xрcosα+yрcosβ+zрcosγ-p²=0. Познач A=рcosα, B=рcosβ, C=рcosγ, D=-p² Отже отримуємо р-ня(3), де N=(A;B;C)-вектор нормалі до площ π.

Для того, щоб (3)звести до(2),домнож (3) на нормувальний множник μ

μAx+ μBy+ μCz+μD=0 μ визнач з умов:μA=cosα,μB=cosβ,μC=cosγ, Dμ<0.

звідки μ²(А²+В²+С²)=1;→ μ=±1/ (знак вибир протилеж знаку D) Отже, маємо р-ня площ у вигл: , яке і є р-ням(2).

Висновок: будь-яке лін р-ня вигляду (3) можна звести до р-ня (2), яке є норм р-ням площ, і навпаки, якщо в пр R₃ задана довіл площ і фіксов довільна декартова сист. коорд Охуz, то площ визначається в цій с-мі лінійним р-ням.

Відстань та відхилення від площини.

z

Q

P M₀

O y

x

Нехай задана площина(π) і т., що не лежить на цій площині.

(π): xcosα+ycosβ+zcosγ-p=0; М₀(x₀;y₀;z₀) не є(π). Спроектуємо ОМ₀ на вісь, задану n(OP).

OM= пр _nОМ₀=OM₀n;

Відхиленням т. М₀ від (π) назив. різниця проекцій:

δ= пр _nОМ_0; - пр _nOP;

Отже, маємо:δ= xcosα+ycosβ+zcosγ-p або

δ=0 - М₀є(π); δ>0 – М₀ і О по різні боки від (π); δ <0 – по один бік.

Відстань точки від площини:

d=│ δ │=│ xcosα+ycosβ+zcosγ-p│=│ │

Чачтинні випадки загального р-ня:

1) D=0 – площина прох. через початок координат (через т.(0;0;0))

2)А=0, В,С≠0, Ву+Сz+D=0 –площ. паралельна Ох.

3)А=В=0, Сz+D=0 – площ. паралельна Оху і т.д.

17. Кут між двома площинами.

Нехай дано дві площини, які визначаються загальними рівняннями:

A_1x+B_1y+C_1z+D₁=0 , A_2x+B_2y+C_2z+D₂=0

Розглянемо вектори нормалей до кожної з площин:

N₁= , N= .

(1)Кут φ між площинами визначаеться кутом φ між векторами N₁ i N₂ . Отже, справджується рівність:

C osφ=(A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂) / ( * )=N1N2/|N1||N2|

( 2)Умова перпендикулярності площин така:

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0

(3)Умова паралельності площин:

A ₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂

Нехай дано три площини:

A_kx+B_ky+C_kz+D_k=0 (k=1,2,3)

Вони перетинаються в одній точці у тому і тільки у тому разі, коли:

не=0

Якщо визначник дорівнює нулю, то площини можуть мати спільну пряму, коли система рівнянь має нескінченну множину розв’язків, або не мати жодної спільної точки, коли система не має розв’язків.

18. Пряма на площині.Кут між прямими

А)

Векторне рівняння прямої на площині

- напрямний вектор прямої L; t-параметр М₀ L , M L , ||L , OM₀= _, = , || , =t* , = - ,

t є R, = + t* (1), -векторне р-ня прямої що прох через т. радіус-вектор якої ,паралельно вектору .

Параметричне рівняння прямої

М₀(х₀,у₀), =(m,n), M(x,y), r(x,y). P (1):

t є R(2)

Канонічне рівняння прямої

З (2): t=(x-x₀)/m; t=(y-y₀)/n

(x-x₀)/m=(y-y₀)/n (3) канон р-ня прямої, що прох через т з коорд(х₀, у_о), паралельно напрямному відрізку l з коорд(m,n)

m²+n² 0

якщо m=0

(x-x₀)*n=0 =>x=x₀ – пряма, парал осі Оу

Рівняння прямої що проходить через 2 задані точки

P

P₁

P₂

P

₁(х₁,у1)

P ₂(х₂,у₂)

P (х,у)

(х-х₁)/(х₂-х₁)=(у-у₁)/(у₂-у₁)(4)

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

В

L

ізьмемо (3) і розв’яжемо

в ідносно у.

y=(n/m)x+(y₀-(n/m)x₀)→

y=kx+b(5)

l

n

φ

З

m

агальне рівняння прямої

Складемо р-ня прямої, що

прох через т.Р₀(x₀,y₀)

перпендик до вектора (A,B). Р-поточ точка

L ; Р₀єL ; Р(x,y) , * =0

A (x-x₀)+B(y-y₀)=0

Ax+By-Ax₀-By₀=0

(-Ax₀-By₀)=C

Ax+By+C=0(5)

Кути

1)Якщо прямі задано загальним рівнянням, то кут між ними визначається кутом між їх нормалями.

(a1;b1); (a2;b2)

cos(N1;N2)=N1*N2/(|N1|*|N2|)

2)Якщо прямі задано канонічними рівняннями, то кут між прямими визн як кут між напрямними векторами.

(m1;n1); (m2;n2)

cos(l1;l2)=l1*l2/(|l1|*|l2|)

3)Якщо прямі задані рівняннями з кутовими коеф

y = k₁x + b₁ , y = k₁x + b₁ (1).

t g =tg(α2-α1)=(tgα2-tgα1)/(1+tgα2*tgα1)=

= (k₂-k₁)/(1-k₂*k₁) y

α2

α1 x

l1 l2

19. ПРЯМА В ПРОСТОРІ

1.) Векторне р-ня

r=r₀+tl, де r-радіус-вектор змінної точки P, r₀-радіус вектор заданої точки М₀, l- ненульовий напрямний вектор t-параметр. tЄR

2.)Параметричні р-ня

l =(m,n,p) r₀=(x₀,y₀,z₀)

x =x₀+tm

y=y₀+tn параметричне рівняння

z=z₀+tp

3) (x-x₀) = (y-y₀) = (z-z₀) канонічне рівняння

m n p

4) Рівняння прямої через дві задані точки

P₁(x₁,y₁,z₁) P₂(x₂, y₂, z₂)

(x-x1) = (y-y1) = (z-z1)

x2-x1 y2-y1 z2-z1

5) Загальне рівняння прямої

Пряма задається за допомогою перетину двох площин

A1x+B1y+C1z+D1=0 де

A2x+B2y+C2z+D2=0

Зауваження: Для зведення з загального рівняння прямої до канонічного:

1.Знайдемо т.Р₀, що належить L. Наприклад, z=0, шукаємо х,у з с-ми якщо визначник А1 В1 не=0. Якщо ж =0, шукаємо інший В2 А2 В2 варіант.

2.Напрямний l = N1xN2, де N1, N2– нормалі. Складаємо рівняння