10. Проекція вектора на вісь.

Числова вісь у прост- пряма OS , на якій визначено напрям, поч відліку, один відріз. Вісь зручно задав за доп орту. Розгл. Чис вісь:

O

берем будь-як вектор в прост і зводимо його поч до точки 0. Через кін вектора проведемоплощин, перп до осі. Числ проекц на вісь = = .

Властив числ проекції:

1) .

2) , кут фі – кут між вектором і ортом;

3)

4)

Числ пр на назив проекція на вісь, що задається . , кут фі – кут між векторами а і в.

11 Декартова система координат. Координатна форма вектора.

Р озглянемо в-ри в просторі R3 , ортоном базис , . В-ри попарно ортогон . Зведемо ці в-ри до спіл поч 0 та розташ їх так, щоб утвор праву трійку.Візьмемо будь-як вектор і відклад від т. О.Провед через т.А площини ІІ до Ох, Оу, Оz. Одержимо точки при перет з осями визнач числ пр на осі коорд. . = , = , = . X= , y= ,z= Отже, маємо розклад за ортами дек прямок с-ми коорд. =хі+yj+zk=(x,y,z)

Введ кути між і ос коор: , , З власт 2 пр маємо: cos = ; cosb= ; cosj= (за означ. cos) За теор. Піф з мал. маємо: . Ці cos кутів є коорд. орта: cos

12.Скалярний добуток векторів

скалярним добутком векторів а і b називається число аb, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.

Зауваження:1)Скал квадрат: а²=а*а=|а|², 2)cosφ=ab/|a||b|

Властивості:

1. а*b = |a|_пр.а* b = |b|_пр.b * a

2. ai=пр_ia=пр_oxa=x висн: координата вектора в декарт с-мі корд є скаляр добут вектора на відповід орт декарт с-ми корд.

3. а*b = b*а (все вектори)

4. (a)*b =  * (ab)

5. a(b+c) = a*b + a*c

6. a*b = 0 <=> a = 0  b = 0  ab

Ознака ортогональності: два ненульові вектори ортогональні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює 0.

Координатна форма скалярного добутку:

Нехай задано вектори a і b в координатній формі.

a = x₁*i + y₁*j + z₁*k; b = x₂*i + y₂*j + z₂*k

ab=(x₂*i+y₂*j+z₂*k)(x₁*i + y₁*j + z₁*k) = x_1*x₂ + y_1* y₂ + z_1*z₂

Наслідок:a²=|a|²=x1²+y1²+z1²

13 Векторний добуток векторів

Вект доб а і b наз вектор с=ахb=[a,b] такий, що

1)|c|=S_nap-площа парал, побуд на векторах a i b.

2) c┴a, c┴b(c┴площ,в якій леж а і b)

3)a,b,c утвор праву трійку.

Властивості: (все вектори)

1. |axb|=|a|x|b|sinφ, φ=(a кут b)

2. axb=-bxa

3. (λa)xb=λ(axb)=ax(λb)

4. (a+b)xc=axc+bxc

5. axb=0↔(a=0)v(b=0)v(a||b)

Координатна форма:

Нехай a=x1i+y1j+z1k b=x2i+y2j+z2k (вектои а,b,I,j,k)

axb=(x1i+y1j+z1k)(x2i+y2j+z2k)=x1x2ii+x1y2ij+x1z2ik+y1x2ji+ +y1y2jj+y1z2jk+z1x2ki+z1y2kj+z1z2kk=x1y2k-x1z2j -y1x2k +y1z2i+ +z1x2j -z1y2i=

= = axb.

Площа парал і трик в R3 i R2:

Паралелогр утвор векторами а і b. Тоді S_nap=|axb| - модуль вектора

S_тр=1/2|axb|

Якщо в-ри задані корд кінців a=AB, b=AC (все вектори)

A(x1,y1,z1); B(x2,y2,z2); C(x3,y3,z3)

S_nap= , S_тр=1/2…

R2:

z1=z2=z3=0…..те саме без z

14. Мішаний добуток трьох векторів.

Мішаним (векторноскалярним) добутком векторів , , .назив. число вигляду

=( )

Властивості мішаного добутку

1) ( ) = ( )= ( )= ( )

2) =0 =0 або =0 або =0 або , , - компланарні

3) =Vпаралелепіпеда

= |( ) |=|np_axbc|=V

| |=Sпар. Звідси h=

Об'єм тетраедра побуд.на , , Vтетр.=

Координатна форма мішаного добутку

=(x₁+y₁+z₁); =(x₂+y₂+z₂) =(x₃+y₃+z₃)

x₁ y₁ z₁

( ) = x₂ y₂ z₂

x₃ y₃ z₃