5. Импульс тела

И́мпульс (Количество движения) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы  m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости: .

Второй закон Ньютона   можно записать в иной форме, которая приведена самим Ньютоном в его главном труде «Математические начала натуральной философии».

Если на тело (материальную точку) действует постоянная сила, то постоянным является и ускорение

где   — начальное и конечное значения скорости тела.

Подставив это значение ускорения во второй закон Ньютона, получим:

или                                     (1)

В этом уравнении появляется новая физическая величина — импульс материальной точки.

Импульсом материальной точки называют величину равную произведению массы точки на ее скорость.

Обозначим импульс (его также называют иногда количеством движения) буквой  . Тогда                                               (2)

Из формулы (2) видно, что импульс — векторная величина. Так как m > 0, то импульс имеет то же направление, что и скорость.

Единица импульса не имеет особого названия. Ее наименование получаетсяиз определения этой величины:

Импульс силы.

И́мпульс си́лы — это векторная физическая величина, равная произведению силы на время её действия, мера воздействия силы на тело за данный промежуток времени (в поступательном движении). За конечный промежуток времени эта величина равна определённому интегралу от элемен­тарного импульса силы, где пределами интегрирования являются моменты начала и конца промежутка времени действия силы. В случае одновременного действия нескольких сил сумма их импульсов равна импульсу их равнодействующей за то же время.

Обозначим через   импульс материальной точки в начальный момент интервала Δt, а через   — импульс в конечный момент этого интервала. Тогда   есть изменение импульса за время Δt. Теперь уравнение (1) можно записать так:                                                (3)

Так как Δt > 0, то направления векторов   совпадают.

Согласно формуле (3)

изменение импульса материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет такое же направление, как и сила.

Именно так был впервые сформулирован второй закон Ньютона.

Произведение силы на время ее действия называют импульсом силы. Не надопутать импульс   материальной точки и импульс силы  . Это совершенноразные понятия.

Уравнение (3) показывает, что одинаковые изменения импульса материальной точки могут быть получены в результате действия большой силы в течение малого интервала времени или малой силы за большой интервал времени. Когда вы прыгаете с какой-то высоты, то остановка вашего тела происходит за счетдействия силы со стороны земли или пола. Чем меньше продолжительность столкновения, тем больше тормозящая сила. Для уменьшения этой силы надо, чтобы торможение происходило постепенно.  Формула (3) может быть обобщена и на тот случай, когда сила меняется во времени. Для этого весь промежуток времени Δt действия силы надо разделить на столь малые интервалы Δt_i, чтобы на каждом из них значение силы без большой ошибки можно было считать постоянным. Для каждого малого интервала времени справедлива формула (3). Суммируя изменения импульсовза малые интервалы времени, получим:

                                         (4)

Символ Σ (греческая буква «сигма») означает «сумма». Индексы i = 1 (внизу) и N(наверху) означают, что суммируется N слагаемых.

Для нахождения импульса тела поступают так: мысленно разбивают телона отдельные элементы (материальные точки), находят импульсы полученных элементов, а потом их суммируют как векторы.

Закон сохранения импульса.

Рассмотрим второй закон Ньютона

Перепишем его для системы из N частиц:

где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида   и   будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть  Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть: или

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

 (постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная.

Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы.

Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса   зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия.

Центр масс и его движение

Воспользовавшись законом изменения импульса,  получим закон движения центра масс: dP/dt = M∙dV_c/dt = ΣF_i                          

Центр масс системы движется так же, как двигалась бы частица с массой, равной массе системы, под действием силы, равной векторной сумме всех внешних сил, действующих на входящие в систему частицы.

В частности, центр масс замкнутой системы относительно произвольной ИСО движется равномерно прямолинейно или покоится. Изменение импульса центра масс происходит за счет внешних сил.

Внутренние силы не влияют на характер его движения, если внешнее воздействие на систему постоянно и однородно. Например, во время салюта движение центра масс разорвавшегося пиротехнического снаряда в постоянном однородномполе силы тяжести происходит по параболе.

Если внешнее воздействие изменяется, то на различные части системы начинают действовать разные силы и характер движения центра масс меняется. В качестве примера рассмотрим движение системы, состоящей из одного тела - снаряда. В случае падения одной из частей разорвавшегося в воздухе снаряда на землю в системе появится новая внешняя сила - сила реакции опоры. Характер движения центра масс системы (осколков снаряда) при этом изменится. Наличие внутренних сил в этом примере является необходимым условием изменения характера движения центра масс системы. Без этих сил, обусловивших распад снаряда на части, не произошло бы изменения траектории его движения вплоть до падения снаряда на землю.

 В любой системе частиц имеется одна замечательная точка С- центр инерции, или центр масс, - которая обладает рядом интересных и важных свойств. Центр масс является точкой приложения вектора импульса системы  , так как вектор любого импульса является полярным вектором. Положение точки С относительно начала О данной системы отсчета характеризуется радиусом-вектором, определяемым следующей формулой:

(4.8)

где   - масса и радиус-вектор каждой частицы системы, M - масса всей системы (рис. 4.3).

Следует заметить, что центр масс системы совпадает с ее центром тяжести. Правда, это утверждение справедливо лишь в том случае, когда поле сил тяжести в пределах данной системы можно считать однородным.

Найдем скорость центра масс в данной системе отсчета. Продифференцировав (4.8) по времени, получим

     

(4.9)