Алгебра

1. Коммутативное кольцо – это кольцо, в котором:

1. Операция умножения коммутативна.

2. Операция сложения коммутативна.

3. Отсутствуют делители нуля.

2. Кольцо называется простым расширением кольца с помощью элемента , если

1. подкольцо и .

2. Подкольцо и .

3. Подкольцо и .

3. Запись означает, что

1. есть простое расширение кольца с помощью

2. есть кольцо многочленов над кольцом от

3. есть простое трансцендентное расширение кольца с помощью

4. Кольцом многочленов от над коммутативным кольцом называется

1. простое трансцендентное расширение кольца с помощью

2. простое расширение кольца с помощью

3. трансцендентное расширение кольца с помощью

5. Укажите неверное утверждение

1. Существуют неизоморфные два простых трансцендентных расширения и коммутативного кольца .

2. Любые два простых трансцендентных расширения и коммутативного кольца изоморфны.

3. Существует единственный изоморфизм простого трансцендентного расширения на простое трансцендентное расширение коммутативного кольца , переводящий в и индуцирующий тождественное преобразование .

6. Пусть , . Остаток от деления на равен

1.

2.

3. 0

7. Элемент не является корнем многочлена , если.

1. Остаток от деления на равен

2. делит многочлен

3.

8.Пусть – область целостности. Тогда любой многочлен из степени

1. имеет не более, чем корней в

2. имеет корней в

3. имеет по крайней мере один корень в

9. Степень произведения двух ненулевых многочленов

1. не больше суммы степеней сомножителей.

2. не больше максимальной степени сомножителей.

3. равна сумме степеней сомножителей.

10. Степень суммы двух ненулевых многочленов

1. не больше максимальной степени слагаемых.

2. не больше суммы степеней слагаемых.

3. равна сумме степеней слагаемых.

11. Степень произведения двух ненулевых многочленов над областью целостности

1. Равна сумме степеней сомножителей.

2. не больше суммы степеней сомножителей.

3. не больше максимальной степени сомножителей.

12. Кольцо многочленов над областью целостности является

1. областью целостности

2. коммутативным кольцом

3. полем

13. На основном множестве произвольного кольца не определена структура

1. мультипликативной абелевой группы.

2. аддитивной абелевой группы.

3. мультипликативного моноида.

14. Если многочлен имеет в области целостности более чем различных корней, то

1. является нулевым многочленом

2. является многочленом нулевой степени

3. это невозможно

15. Кольцо многочленов от над коммутативным кольцом обозначается:

1.

2.

3.

16. Укажите неверное утверждение. В области целостности

1. любой ненулевой элемент обратим.

2. умножение коммутативно.

3. нет делителей нуля.

17. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов над коммутативным кольцом выполняется:

1. если - бесконечная область целостности.

2. если - область целостности.

3. если - поле.

18. Укажите верную формулировку теоремы о делении с остатком в кольце многочленов над полем:

1. и .

2. и .

3. и .

19. Укажите верную формулировку теоремы о делении с остатком в кольце многочленов над полем:

1. и .

2. и .

3. и .

20. Укажите верную формулировку теоремы о делении с остатком в кольце многочленов над полем:

1. и .

2. и .

3. и .

21. Если и , то

1.

2.

3.

22. Если и , то

1.

2.

3.

23. Наибольшим общим делителем не равных одновременно 0 многочленов и называется

1. любой многочлен , который является их общим делителем и делится на любой их общий делитель.

2. любой многочлен , который является их общим делителем.

3. любой многочлен , который делится на каждый их общий делитель.

24. Пусть - коммутативное кольцо, и . Тогда

1.

2.

3.

25. НОД многочленов, вычисленный с помощью алгоритма Евклида есть

1. последний ненулевой остаток при последовательном делении по алгоритму Евклида.

2. последний делитель при последовательном делении по алгоритму Евклида.

3. последнее неполное частное при последовательном делении по алгоритму Евклида.

26. Наименьшим общим кратным многочленов и называется

1. любой многочлен , который является их общим кратным и делит любое их общее кратное.

2. любой многочлен , который является их общим кратным.

3. любой многочлен , который делит каждое их общее кратное.

27. Для любых многочленов

1.

2.

3.

28. В кольце многочленов над полем обратимыми являются

1. только многочлены нулевой степени

2. только многочлены первой степени

3. многочлены нулевой и первой степени

29. Многочлен из кольца над полем называется приводимым над полем , если

1. его можно представить в виде произведения двух многочленов положительной степени из .

2. его можно представить в виде произведения двух многочленов положительной степени.

3. степень этого многочлена больше 1.

30. Многочлен из кольца над полем является неприводимым (простым) над полем , если

1. он имеет положительную степень и обладает лишь тривиальными делителями.

2. он не является приводимым.

3. он имеет степень, равную 1.

31. Укажите верное утверждение. В кольце многочленов над полем

1. неприводимы все многочлены первой степени.

2. Существуют неприводимые многочлены выше, чем первой степени.

3. Не существуют неприводимые многочлены выше, чем первой степени.

32. Пусть – многочлен над полем . Тогда

1.

2.

3.

33. Продолжите формулировку теоремы о разложении многочлена в произведение нормированных неприводимых множителей. Пусть - многочлен положительной степени над полем . Тогда

1. можно единственным образом представить в виде произведения элемента поля и нормированных неприводимых над многочленов.

2. можно представить в виде произведения элемента поля и нормированных неприводимых над многочленов.

3. можно единственным образом представить в виде произведения элемента поля и нормированных неприводимых многочленов.

34. Пусть - многочлены над полем . Формальная производная многочленов не обладает свойством:

1.

2.

3.

35. Свободный член разложения многочлена по степеням равен

1.

2.

3.

36. Коэффициент при в разложении многочлена по степеням равен

1.

2.

3.

37. Пусть - многочлен над полем . Тогда

1.

2.

3.

38. Пусть неприводимый множитель кратности многочлена над полем нулевой характеристики. Тогда является множителем

1. кратности для .

2. кратности для

3. кратности для

39. Многочлен над полем нулевой характеристики имеет кратный неприводимый множитель тогда и только тогда, когда

1. .

2. многочлены и взаимно просты.

3. .

40. Пусть корень многочлена над полем нулевой характеристики кратности . Тогда является корнем

1. кратности для .

2. кратности для

3. кратности для

41. Многочлен над полем нулевой характеристики имеет кратный корень тогда и только тогда, когда

1. .

2. многочлены и взаимно просты.

3. .

42. Многочлен над полем нулевой характеристики имеет -кратный корень тогда и только тогда, когда

1. .

2. .

3. .

43. Поле называется алгебраически замкнутым, если

1. любой многочлен положительной степени из имеет в поле хотя бы один корень.

2. любой многочлен положительной степени из имеет хотя бы один корень.

3. любой многочлен из имеет в поле хотя бы один корень.