Стержень с несимметричным сечением.

Р ассмотрим поведение произвольного тонкостенного профиля при сжатии. В этом случае все идеи сохраняются, однако положение центра вращение неизвестно.

Запишем выражение для критических напряжений при повороте относительно произвольно расположенного полюса.

.

При переходе к произвольному полюсу секториальная площадь изменится: , а секториальный момент инерции будет равен:

Если обозначить , и все геометрические характеристики вычислять относительно главных осей инерции сечения (когда ), то секториальный момент инерции будет равен: .

Полярный момент инерции соответственно будет равен:

.

Критические напряжения будут равны:

.

Обозначим, как и в предыдущем случае:

, выражение для критических напряжений примет более простой вид: .

Найдем положение центра вращения, при котором критические напряжения будут минимальны: . Решая полученные уравнения, найдем координаты центра: . Подставив их в выражение для критических напряжений, получим кубичное уравнение:

.

Как и в предыдущем случае в уравнение входят критические напряжения при потере устойчивости в форме изгиба в двух плоскостях и кручении относительно полюса. Его аналитическое решение затруднительно, но в численной форме всегда может быть найдено. Как показывает анализ, для такого стержня все формы потери устойчивости комбинированные – изгибно-крутильные. Они сочетают кручение с изгибом в двух плоскостях, причем такая форма потери устойчивости соответствует напряжениям меньшим, чем при потере устойчивости в чисто изгибной или крутильной формах.

Устойчивость плоской формы изгиба.

Рассмотрим стержень симметричного профиля (например швеллер) в состоянии чистого изгиба в плоскости симметрии (рис. 51). В результате действия изгибающего момента в сечении стержня возникают нормальные напряжения, распределенные по линейному закону, а ось стержня примет форму дуги (при непостоянном значении момента ось примет форму некоторой плоской кривой).

Предположим, что при достижении некоторого предельного момента стержень начнет закручиваться и ось стержня станет пространственной кривой.

К ак и в предыдущем случае, предположим, что сечение стержня поворачивается относительно некоторой точки, причем эта точка не совпадает с центром кручения тонкостенного профиля, однако в силу симметрии лежит в плоскости симметрии стержня.

При закручивании стержня наклон нагруженных волокон относительно оси стержня приводит к появлению крутящего момента.

Как и ранее , .

Тогда : .

Дифференциальное уравнение примет вид:

Обозначим, как обычно, ; .

Решая уравнение, найдем для случая свободного опирания стержня по концам (здесь свободное опирание соответствует отсутствию препятствий для депланации) значение k, соответствующее новой форме равновесия.

Обозначим: .

Тогда

Если у профиля две оси симметрии:

У стойчивость стержней на упругом основании.

Рассмотрим стержень на упругом основании и опорах по концам стержня (рис. 43). Как известно, Винклеровское упругое основание обладает двумя свойствами: реакция основания пропорциональна внедрению в основание и реакция основания в точке не зависит от внедрения в соседних точках. Поэтому на стержень будут действовать сжимающие силы P и горизонтальная реакция левой опоры, и давление со стороны основания q=cv

Дифференциальное уравнение для такого стержня можно записать в виде:

.

Введем обозначения: . Дифференциальное уравнение примет вид:

.

Характеристический полином запишем в виде: . Найдем его корни.

. Так r>0, то p² отрицательно, и все корни мнимые.

.

Решение дифференциального уравнения можно записать

Для определения констант запишем краевые условия. В нашем случае они связаны с нулевым прогибом и изгибающим моментом на концах стержня. Для ненулевого решения однородной системы уравнений потребуем равенство нулю определителя матрицы системы.

Раскрывая определитель, получим:

.

. Равенство возможно, только для специально подобранного соответствия между жесткостью балки на изгиб и жесткостью упругого основания. Поэтому, не рассматривая этот случай, можно записать:

. Тогда

Р ешение множество форм потери устойчивости, причем каждому соотношению жесткости упругого основания, жесткости балки и ее длины соответствует своя форма, для которой критическая сила минимальна. Изобразим графики, отложив по осям P/P_э и

Каждому значению r* соответствует множество форм, причем истинная форма соответствует минимальному значению критической силы.

Точки перехода от одной формы к другой легко найти из соотношения:

Если число полуволн потери устойчивости велико (длинный стержень), то можно продифференцировать по n и найти минимум. Тогда:

В этом случае критическая сила практически не зависит от условий закрепления стержня по концам.

Понятие о расчете на устойчивость круговых арок постоянного сечения

1. Вывод дифференциального уравнения кругового бруса

d S - длина элемента mn до деформации,

R - радиус кривизны

m₁n₂ положение элемента mn после деформации.

Обозначим проекции перемещения точек m и n через: V - проекцию перемещения

на касательную и W - проекцию перемещения на радиус.

Определим относительную деформацию элемента dS. Для этого воспользуемся

принципом наложения и будем определять отдельно деформацию элемента от

перемещений W и V.

Абсолютная деформация элемента dS равна dV, а относительная деформация

(1)

2) V = 0. Бесконечно малой величиной dW пренебрегаем

до деформации

dS = Rdθ

W после деформации

dS₁= m₁n₁ = (R –W) dθ

Абсолютная деформация элемента dS

Относительная деформация:

т.к. dS = Rdϑ.

Полная относительная деформация элемента:

Кривизна элемента до деформации

Определим изменение элемента за счет его деформации. Углы поворота

касательных, проведенных к точке m:

2) V = 0

в этом случае пренебречь

величиной dW нельзя

Заштрихованный треугольник ввиду

малых величин можно считать

прямолинейным, тогда:

Суммарный угол поворота касательной

Изменения кривизны деформированного элемента:

Продифференцируем выражение

Пренебрегая удлинением элемента dS, т.е. ε = 0, из уравнения имеем:

=>

Из сопротивления материалов известно дифференциальное уравнение изогнутой

оси бруса:

Или

2. Устойчивость кругового кольца при радиальной нагрузке

q - интенсивность равномерно распределенной радиальной

нагрузки.

При q < qкр кольцо сохраняет первоначальную форму равновесия и в нем

возникают только продольные усилия сжатия.

При q ≥ qкр кольцо теряет устойчивую форму равновесия, приобретая овальную

форму и в нем, наряду с продольными усилиями появляются изгибающие моменты.

Рассмотрим элемент dS до потери устойчивости:

После потери устойчивости точка К переместится в точку К1, прогиб стенки кольца

составляет W. В деформированном состоянии продольная сила вызывает в кольце

изгибающий момент:

M= N W =qRW

Подставим это значение момента в дифференциальное уравнение бруса

Или

Обозначим

Решение этого однородного дифференциального уравнения запишется:

Значение коэффициентов С1 и С2 найдем из граничных условий:

учитывая, что на осях симметрии W’=0

3. Устойчивость двухшарнирной круговой арки

Рассмотрим круговую арку загруженную равномерно распределенной радиальной

нагрузкой q.

Дифференциальное уравнение кривого бруса по аналогии с кольцом

Решение его:

где θ - угол изменяющийся от 0 до α.

Граничные условия задачи:

1) при θ = 0 W = 0;

0 = С2

2) при θ = α W = 0;

0 = C1 sin Kα; C1 ≠ 0

Следовательно sin Kα =0