26.Пересечение5 прямой с плоскостью общего положения

Пересечение прямой с плоскостью общего положения. Пример 1. Даны: плоскость общего положения а и прямая общего положенияАВ (А₁В₁ А₂В₂); требуется найти точку их пересечения (фиг.251,а). Проводим через прямую АВ какую - либо вспомогательную плоскость, например горизонтально - проектирующую плоскость δ (δ₁), как показано на (фиг.251,б); она пересечет плоскость a по прямой NM (N₁M₁, N₂М₂), которая, в свою очередь, пересечет прямую АВ (А₁В₁ А₂В₂) в точке С (С₁С₂), что видно на (фиг.251,в). Точка С есть точка пересечения прямой АВ с плоскостью а.

Пример 2. На (фиг.252) приведен пример нахождения проекций точки пересечения прямой AB c плоскостью общего положения при помощи горизонтали h. Пример 3. Даны: треугольник ABC и прямая NM; требуется определить точку их пересечения (фиг.253,а). Возьмем в качестве вспомогательной плоскости горизонтально - проектирующую плоскость δ, тогда горизонтальная проекция ог сольется с горизонтальной проекцией N₁M₁ прямой NM и пересечет проекции сторон треугольника в точках Е₁ и F₁ (фиг.253,б). Отрезок Е₁F₁ будет горизонтальной проекцией линии пересечения. Затем находим фронтальную проекцию линии пересечения: при помощи вертикальных линий связи получаем точкиЕ₂ и F₂, проводим через них прямую E₂F₂, которая будет фронтальной проекцией линии пересечения. Прямая E₂F₂ пересекает прямую N₂М₂ в точке К₂. Точка К₂ будет фронтальной проекцией точки пересечения прямой MN с прямой EF; горизонтальную проекцию K₁ этой точки определяем при помощи вертикальной линии связи. Точка К (K₁, К₂) будет точкой пересечения данной прямой MN с данным треугольником ABC, как одновременно им принадлежащая, потому что прямая MN пересекается в ней с прямой EF, лежащей в плоскости треугольника ABC.

27.Основная позиционная задача-пересечение прямой линии общего положения с плоскостью общего положения

Построим точку К - точку пересечения прямой общего положения а с плоскостью общего положения , заданную тремя точками А, В, С.

Алгоритм построения точки пересечения: Например на П1 проведем через заданную прямуюа1 вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость : а    и    П1. Построим m1 - линию пересечения вспомогательной плоскости  с заданной плоскостью . Отметим точки 11 и 21 - точки пересечения прямой m1 и отрезков А1В1 и В1С1соответственно. Построим фронтальную проекцию прямой m, учитывая принадлежность точек 1 и 2 сторонам треугольника АВС. Находим точку К2 - точку пересечения прямых m2 иа2: К2=m2   а2. По линии связи находим первую проекцию точки К- точку К1.

 Определяем видимость прямой а с помощью метода конкурирующих точек. На П₂, правая часть прямой а₂ (относительно точки К₂) - видима, а левая часть прямой а₂ - невидима. На П₁, левая часть прямой а₁ (относительно точки К₁) - невидима, а правая часть прямой а₁ - видима.

28.Прямая линия парраллельная плоскости

Определение. Плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости, называютсяпараллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

10. Теорема. Если прямая (АВ, черт. 5) параллельна какой-нибудь прямой (СD),расположенной в плоскости (Р), то она параллельна самой плоскости.

Проведём через АВ и СD плоскость R и предположим, что прямая АВ где-нибудь пересекается с плоскостью Р. Тогда точка пересечения, находясь на прямой АВ, должна принадлежать также и плоскости R, на которой лежит прямая АВ, в то же время точка пересечения, конечно, должна принадлежать и плоскости Р. Значит, точка пересечения, находясь одновременно и на плоскости R и на плоскости Р, должна лежать на прямой СD, по которой пересекаются эти плоскости; следовательно прямая АВ пересекается с прямой СD. Но это невозможно, так как по условию АВ||СD, значит, нельзя допустить, чтобы прямая АВ пересекалась с плоскостью Р, и потому АВ||Р.

11. Теорема. Если плоскость (R, черт. 5) проходит через прямую (АВ),параллельную другой плоскости (Р), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (СD) параллельна первой прямой (АВ).

Действительно, во-первых, прямая СD лежит в одной плоскости с прямой АВ, во-вторых, эта прямая не может пересечься с прямой АВ, потому что в противном случае прямая АВ пересекалась бы с плоскостью Р, что невозможно.

12. Следствие 1. Если прямая (АВ, черт. 6) параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей (Р и Q), то она параллельна линии их пересечения (СD).

Проведём плоскость через АВ и какую-нибудь точку М прямой СD. Эта плоскость должна пересечься с плоскостями Р и Q по прямым, параллельным АВ и проходящим через точку М. Но через точку М можно провести только одну прямую, параллельную АВ; значит, две линии пересечения проведённой плоскости с плоскостями Р и Q должны слиться в одну прямую. Эта прямая, находясь одновременно на плоскости Р и на плоскости Q, должна совпадать с прямой СD, по которой плоскости Р и Q, пересекаются; значит, СD || AВ.

13. Следствие 2. Если две прямые (АВ и СD, черт. 7) параллельны  третьей прямой (ЕF),  то они параллельны между собой.

Проведём плоскость М через параллельные прямые АВ и ЕF. Так как СD||EF, то  СD||M (§ 10).

Проведём также плоскость N через СD в некоторую точку А прямой AВ.  Так как EF||СD, то EF||N. Значит, плоскость N должна пересечься с плоскостью M по прямой, параллельной EF (§ 11) и в то же время проходящей через точку А. Но в плоскости М через А проходит единственная прямая, параллельная EF, именно прямая АВ. Следовательно, плоскость N пересекается с М по прямой АВ; значит, СD || AВ.

29.Прямая линия перпендикулярная плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Если в плоскости взять пересекающиеся линии: горизонталь и фронталь, то можно воспользоваться свойствами проецировании прямого угла (см. тему 1).

Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекции перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (рис. 6.4,а).

а)                                                      б)                                              в)   

Рис. 6.2. Прямая перпендикулярная плоскости (ее фронтали и горизонтали).

Е сли плоскость задана следами, то прямая, перпендикулярная к ней, будет изображаться прямой линией, перпендикулярной к одноименным следам плоскости (имеем горизонтальный след - это горизонталь и фронтальный след - фронталь плоскости) (рис. 6.2,б).  Е сли прямая перпендикулярна к проецирующей плоскости, то она будет являться линией уровня (рис. 6.2,в).      

 Прямая а перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым,  лежащим в плоскости (на рис. плоскость задана следами, а две пересекающиеся прямые f и h выбраны фронталью и горизонталью, которые параллельны следам плоскости).