3. Расчет надежности с использованием математической логики.

Расчет надежности сложного изделия, по существу, является определением истинности сложного высказывания.

Приведем пример высказывания: «изделие находится в работоспособном состоянии, если в работоспособном состоянии находится его элемент а и один из следующих элементов: элемент b, или d, или оба элемента вместе взятых». Такое высказывание является сложным, состоящим из простых высказываний, связанных между собой логическими операциями конъюнкции (связка «и», обозначается знаком ) и дизъюнкции (связка «или», обозначается знаком ). На языке математической логики оно может быть записано следующим образом:

с=a/\[b\/d\/(b\/d)]=a/\(b\/d).

Главное в такой записи состоит не только в том, что существует возможность записать условие работоспособности изделия в виде математической (логической) формулы и преобразовать эту запись, а в том, что такие формулы можно подвергать математической обработке: соединять их в более сложные структуры, разлагать, преобразовывать, оптимизировать, находить по ним значения исследуемых величин, переходить от формул к схемам и наоборот и т. д.

Таким образом, использование аппарата математической логики позволяет формализовать условия работоспособности сложных структур и получать формулы для расчета надежности. Чтобы понять, как все это делается, рассмотрим вначале некоторые самые необходимые шесть положений математической логики.

Рис. 4.1. Схема параллельного соединения элементов (операция дизъюнкции)

Рис. 4.2. Схема последовательного соединения элементов

1. Если о некотором высказывании С можно утверждать, что оно истинно, если истинны высказывания А или В, тогда делается вывод о том, что высказывание С равно высказываниям А и В, связанным между собой логической операцией дизъюнкции:

С=А \/ В.

Точно так же, если об изделии можно утверждать, что оно работоспособно, если работоспособен его элемент а или b, можно сделать вывод о том, что работоспособность изделия (событие с) и работоспособности элементов а и b (событие а и событие b) связаны между собой логическим уравнением работоспособности:

c=ab.(4.1)

Логическая операция дизъюнкции может быть представлена схемой параллельного соединения элементов а и b, входящих в уравнение (4.1) (рис. 4.1).

2. Если о некотором высказывании С можно утверждать, что оно истинно тогда, когда истинны высказывания А и В, то делается вывод о том, что высказывание С равно высказываниям А и В, связанном между собой логической операцией конъюнкции:

С=А  В.

Точно так же, если об изделии можно утверждать, что оно работособно, если работоспособны элемент а и элемент b, можно сделать вывод о том, что работоспособность изделия (событие с) и работоспособности элементов а и b (событие а и событие b) связаны между собой логическим уравнением работоспособности:

с=аb. (4.2)

Логическая операция конъюнкции может быть представлена схемой последовательного соединения элементов а и b, входящих в уравнение (4.2) (рис. 4.2).

Рис. 4.3. Структура тракта (а) и вариант схемы расчета надежности (б)

3. Если некоторое высказывание А отрицается высказыванием b, тогда говорят, что высказывание А и высказывание В связаны между собой логической операцией отрицания:

B= (4.3.)

Формула (4.3) читается так: В есть не А.

В теории надежности она может, например, найти такое применение. Если работоспособное состояние элемента а обозначить а, то неработоспособное состояние элемента а обозначается .

3. Логические операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания— основные операции, используемые в прикладной теории надежности, так как к ним могут быть сведены все другие логические операции.

4. Сложную логическую функцию можно минимизировать, т. е. преобразовать ее таким образом, что она будет содержать наименьшее число членов или в ней не будет повторяющихся членов.

Для минимизации функций и для исключения повторяющихся членов рекомендуются следующие формулы:

1.aa = a. 5.(a ) = 1.

2.aa = a. 6.(ab)(a ) = a.

3. aab =a. 7.a(ab) = a.

4. (1a) = 1. 8. (ab) (ac) = abc

9. F_л(а, b, с,...) = а F_л(1, b, с,.. .)  F_л(0, b, с,...). (4.4)

Преобразование логической функции к такому виду, когда в ней нет повторяющихся членов, совершенно необходимо при расчетах надежности. Если функция имеет вид F_л =aa (a — событие), то ее нельзя непосредственно использовать для расчета вероятности сложного события. Замена событий вероятностями приведет к формуле P(a•a)=P(a)•P(a)=P²(a). На самом же деле F_л =aa.=a. Поэтому Р(аа) =Р(а).

Особого внимания заслуживает формула разложения F_л на две составляющие. Она используется тогда, когда все остальные формулы не позволяют исключить повторяющиеся члены.

Пример. Исключить повторение членов a и с функции работоспособности F_л, если дана структурная схема расчета (рис. 4.3, б) и F = (abc)\/(dc)V(ae).

Применение формул 1—8 из (4.4) поставленную задачу не решает. Поэтому используем формулу 9—формулу разложения логической функции по а:

F_л =а {c(b\/d)\/e}\/ [dс] = aF_л1 F_л2.

Фигурными скобками функции F _л1 соответствует исходная схема (рис.4.5,а), у которой вместо элемента a - короткое замыкание (рис. 4.3, б). Фигурным скобкам функции F_л2 соответствует исходная схема, у которой вместо элемента a - обрыв (рис. 4.3, в).

6. Логические функции можно преобразовать в функции алгебраические, если заменить все логические операции арифметическими по следующим правилам:

a\/b = a+b-ab; a/\b = ab; = 1-a.

Логическую функцию работоспособности, у которой все логические операции заменены арифметическими, будем называть функцией работоспособности, представленной в арифметическом виде.