Упражнения.

3.1. Пусть время жизни Т элемента распределено равномерно на отрезке (обозначим такое распределение ).

Выписать: 1) функцию плотности вероятностей ,

2) функция распределения ,

3) функцию надежности ,

4) функцию интенсивности отказов ,

5) среднее время жизни.

Ответ: , , ,

, .

3.2. Пусть время жизни Т элемента распределено по закону:

а) ; б) .

Выписать: 1) функции , ,

2) функцию надежности ,

3) функцию интенсивности отказов .

Ответ: а) , , , ;

б) .

3.3. Время Т наработки элемента на отказ распределено по закону .

Найти вероятность того, что элемент будет в рабочем состоянии в момент времени Т_ср (откажет на промежутке ).

Ответ: .

3.4. Время Т наработки элемента на отказ распределено по закону .

Вероятность того, что элемент работал безотказно на промежутке равна: p = 0,607. Найти вероятность того, что элемент будет в рабочем состоянии в момент времени t = 6000 час.

Ответ: 0,1358.

3.5. Время Т наработки элемента на отказ распределено по закону . Вероятность того, что элемент в рабочем состоянии в момент времени . Та же вероятность для момента времени . Найти вероятность того, что элемент будет в рабочем состоянии в момент времени а) t=5000 час, б) t=7000 час.

Ответ: а) ; б) 0,09.

§ 4. Статистическое оценивание показателей надежности.

Пусть на промежутке времени испытывается N₀ одинаковых элементов. Разобьем промежуток на n частичных промежутков одинаковой длины точками . Пусть - число исправных элементов в момент времени t_i , тогда - число отказавших элементов на i – ом промежутке . Будем предполагать, что отказы происходят в серединах промежутков , тогда

, (1)

, (2)

или . (3)

Для вычисления воспользуемся формулой (3) § 3, получим:

. (4)

Иногда (см. [1], стр.33) находят среднее число работающих элементов и применяют формулу:

. (5)

При этом для оценки среднего времени жизни Т_ср – применяют формулу:

, (6)

– число испытанных образцов, n_i – число отказавших на промежутке образцов.

Пример 1. Из 1000 лампочек в первый месяц работы перегорело 12, а через год за месяц перегорело 8, среди оставшихся 600 лампочек. Определить, когда лампа работает менее надежно.

Решение. =1 мес. По формуле (5) .

.

, поэтому через год лампа работает менее надежно.

Пример 2. На испытаниях находилось элементов в течении 500 часов. Найти , если данные об отказах собраны в таблице:

Интервалы времени (час)	0 - 100	100 - 200	200 - 300	300 - 400	400 - 500
Число отказавших элементов	2	1	1	3	3

Решение. Применим формулы (1), (3), (5), =100 час. Получим таблицу:

Интервалы времени (час)	0 - 100	100 - 200	200 - 300	300 - 400	400 - 500
Число отказавших элементов	2	1	1	3	3
	0,98	0,97	0,96	0,93	0,9
	= =0,000202	= =0,0001025	= =0,0001036	= =0,0003174	= =0,0003278

По формуле (6) . Испытания были закончены, когда отказали 10 элементов.