Упражнения

1.1. Найти вероятность безотказной работы схемы, логические модели которых:

а )

1

2 4

3

б)

1

3 4

2

в)

1 3

.

2 4

Вероятности безотказной работы элементов равны

.

Ответ. а)

б) ;

в) .

1.2. Вероятности безотказной работы каждого элемента за время Т равны 0,9. Найти вероятность безотказной работы за время Т схем, логические модели которых:

а)

б)

в)

г)

д)

е )

ж)

Ответ. а) ; б) 0,890109; в) 0,8893; г) 0,989;

д) 0,997848; е) 0,985; ж) 0,99586.

§ 2. Случайные величины.

Определение 1. Пусть - вероятностное пространство. Действительно-значную функцию , определенную на Ω будем называть случайной величиной (для краткости СВ Х), если множество . При этом функция называется функцией распределения СВ Х. Если множество значений СВ Х – конечно или счетно, то СВ Х называется дискретной, если значения СВ Х целиком заполняют некоторый интервал действительной оси, то СВ Х называется непрерывной.

Замечание. Среди непрерывных СВ будем рассматривать абсолютно-непрерывные, а именно такие, что

(1)

где - кусочно-непрерывна.

При этом функция называется плотностью вероятностей СВ Х, и верны формулы:

, (2)

, (3)

где М(Х) – математическое ожидание (среднее значение) СВ Х;

- дисперсия СВ Х (4)

- среднее квадратическое отклонение СВ Х. (5)

Для дискретной случайной величины Х, заданной законом

Х	х1	х2	…	xn
Р	р1	р2	…	рn

, (6)

. (7)

Определение 2. Дискретная СВ Х называется распределенной по закону Бернулли (биномиальному закону), если значения X: 0, 1, …, n и

, (8)

- параметры распределения.

Замечание. .

Пример 1. Система состоит из 4-х блоков, работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы любого из них за время t равна р=0,8. Для нормальной работы системы за время t необходимо, чтобы работали хотя бы 3 блока. Найти вероятность того, что: 1) система будет работать в течение времени t; 2) система откажет.

Решение. Пусть СВ Х – число работающих исправно в течение времени t блоков. Тогда по формуле (8):

1) .

2) .

Замечание. Биномиальный закон распределений часто применяется при статистическом контроле качества изделий, когда мало сведений о природе и поведении изделий и их нужно разделить на исправные и неисправные.

Определение 3. Дискретная СВ Х называется распределенной по закону Пуассона , если значения

и ; (9)

где - параметр распределения.

Замечание. .

Теорема 1 (теорема Пуассона). Пусть СВ Х распределена по закону Бернулли с параметром р. Пусть , так что , тогда

. (10)

Замечание. Из теоремы 1 следует, что распределение Пуассона – предельный случай биномиального распределения при . Если n – велико, а р мало, то вместо формулы (8) для распределения B(n, p) используют формулу (9), где .

Пример 2. Радиоэлектронная система (РЭС) состоит из 200 узлов. Вероятность отказа каждого из них за время t равна 0,005. Найти 1) среднее число отказавших за время t узлов; 2) вероятность того, что за время t откажет менее 3-х узлов; 3) вероятность отказа хотя бы одного узла за время t.

Решение. Пусть СВ Х – число отказавших за время t узлов. Тогда

1) .

2) ; где . Поэтому .

3) .

Определение 4. Непрерывная СВ Т называется распределенной по нормальному закону , если ее функция плотности вероятностей

. (11)

Замечание. ;

; (12)

где – интегральная функция Лапласа:

. (13)

При этом – функция распределения СВ Х.

Если число испытаний n для СВ Х, распределенной по закону Бернулли B(n, p) велико, то используют приближенную формулу:

, (14)

где р – вероятность успеха в одном испытании, – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем .

Пример 3. Пусть СВ Т задает момент времени выхода из строя производимой детали; - равна вероятности того, что деталь откажет на промежутке . Предположим, что Т распределена по закону ; .

1) Найти вероятность того, что деталь проработает безотказно не менее 1250 час.

2) Вероятность того, что наработка на отказ будет находится в интервале .

3) Вероятность того, что безотказно проработав до 1250 ч, деталь безотказно проработает и до 1750 ч.

Решение. 1) Искомая вероятность равна вероятности того, что Т примет значение из промежутка .

.

2) По формуле (12):

.

3) Необходимо вычислить условную вероятность . Пусть событие А: Т > 1750, событие B: T > 1250. Тогда по формуле (2) § 1:

=

.

Замечание. СВ Т из примера 3 называется временем жизни или временем наработки на отказ.

Определение 5. Непрерывная СВ Х называется распределенной по экспоненциальному закону , если ее функция плотности вероятностей

(15)

где - параметр распределения.

Замечание. (16)

.

Пример 4. Время Т наработки элемента на отказ распределено по экспоненциальному закону . Найти вероятность безотказной работы элемента за 500 часов.

Решение. .

Замечание. СВ Т в примерах 3 и 4 – время жизни элемента – непрерывна. Поэтому в примерах и всюду в дальнейшем : .

Пример 5. Вероятность безотказной работы изделия в течение 60 часов равна 0,9. Предполагается, что время жизни элемента распределено по экспоненциальному закону. Найти условную плотность вероятности того, что изделие откажет в момент времени t, при условии, что до этого изделие работало безотказно.

Решение. СВ Т – время жизни элемента; .

,

.

. Пусть .

Тогда

.

Тогда .