35. Тривиальные и нетривиальные линейные комбинации

Линейная комбинация (**) называется тривиальной, если имеет место следующее условие λ1e1+ λ2e2+ λnen= Ɵ (нульвектор) < = > λ1, λ2… λn=0, т.е линейная комбинация приравненная к Ɵ будет тривиальной тогда и только тогда, когда все коэфф λ1, λ2… λn=Ɵ

36. Линейно зависимые и линейно не зависимые системы векторов Система векторов (*) называется линейно независимой, если любая их линейная комбинация является тривиальной, и наоборот

37. Теорема о свойствах линейно зависимых и независимых векторов

1. Система векторов (*) линейно независима тогда и только тогда, когда никакой вектор в этой системе не представим в виде тривиальной системы комбинаций ( когда вектор системы представим в виде тривиальной)

2. Любая подсистема линейно независимой системы векторов также является линейно независимой

3. Система векторов (*) является линейно зависимой тогда и только тогда, когда в ней найдется по крайней мере 1 вектор представимый в виде нетривиальной системы линейных комбинацией оставшихся векторов

4. Всякая система содержащая линейно зависящую подсистему, является линейно зависимой

5. Всякая система векторов (*) содержащая Ɵ является линейно зависимой

38. Теорема о нетривиальных решениях СЛОУ

СЛОУ имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы строго меньше количества уравнений r<m ( в СЛОУ подразумевается что m=<n)

39. Фундаментальная система решений СЛОУ Множество частных нетривиальных решений СЛОУ образует фундаментальную систему решений СЛОУ когда оно состоит из всех частных нетривиальных линейно независимых СЛОУ

40. Основные свойства фундаментальной системы СЛОУ

1. Пусть A=(A1,A2,...,An)-фундаментальное решение. Тогда его произведение на любой ненулевой скаляр также будет фундаментальным решением.

2. Линейная комбинация фундаментальных решений также является фундаментальным.

41. Теорема о фундаментальных решениях

Количество фундаментальных решений СЛОУ равно N-R , где N- количество неизвестных, R- Ранг основной матрицы СЛОУ.

42. Следствия из теоремы о фундаментальных решениях

Всякая нетривиальное решение СЛОУ Представимо в виде Линейной Комбинации фундаментальных решений СЛОУ

43. Присоединенная СЛОУ

Если в СЛНУ заменить все свободные коэффициенты нулевыми, то полученная СЛОУ называется Соответственной или присоединённой

44. Свойства решений присоединенной СЛОУ

1. Разность Любых 2 частных решений СЛНУ будет решением присоединённой СЛОУ.

2. Всякое частное Решение СЛНУ можно получить из другого частного решения СЛНУ прибавлением любого решения СЛОУ

45. Теорема о связи общего решения СЛНУ с решением присоединенной СЛОУ

Общее решение СЛНУ представимо в виде суммы произведения частного решения СЛНУ и линейной комбинацией из фундаментальных решений СЛОУ

46. Понятие следствия из уравнения или системы уравнений

Некоторые уравнения из СЛНУ(а) называются следствием другого из СЛНУ(b) если любое решение (b) является решением (а).

47. Предложение о следствиях из системы линейных уравнений

уравнение (i):a_i1x₁+a_i2x₂+...+a_inx_n=b из СЛНУ является его следствием тогда и только тогда, когда (i) является подходящей(?) линейной комбинацией из уравнений системы.

48. Теорема Фредгольма

СЛНУ вида A*X=B совместно тогда и только тогда, когда уравнение B*Y=0 является следствием СЛОУ вида A^T*Y=0