1. Определение множества, числовые множества

Совокупность объектов определённой природы (математической) объединённых воедино по некоторому свойству или принципу.

2. Элементы множества

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. элементами также могут быть и другие множества

3. Подмножества

А подмножество И если элементы множества A являются элементами B.

4. Основные операции над множествами

   1. Пересечение элементов

Те элементы которые входят в оба множества

2. Объединение

Все элементы входящие в оба множества (без повторений)

5. Пустое множество

Множество, не содержащее ни одного элемента. Оно является подмножеством любого множество включая себя.

6. Матрицы (определение, обозначение, квадратная матрица)

Матрица А размера(порядка) m x n с элементами из множества K называют математический объект изображаемый в виде таблицы состоящей из m строк и n столбцов.Обозначение: 1.( ) 2. [ ] 3.|| || Матрица называется квадратной если количество строк равно количеству столбцов. (m=n)

7. Основные операции над матрицами

   1. Умножение матрицы на число

Для умножения матрицы на число нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.

2. Сложение, вычитание матриц

Для сложения(вычитания) двух матриц одного размера нужно сложить(вычесть) соответствующие элементы (т.е. поэлементно). Получиться матрица той же размерности.

3. Произведение матриц

Произведением 2 матриц A_mxs и B_sxn называется матрица размером m x n, элементы которой получены по правилу C_ij= _ikb_kj

4. Транспонирование матриц

Транспонированной называется матрица полученная из A путём:

Столбик i становиться столбиком j.

8. Некоторые специальные виды матриц

   1. Нуль-матрица

Все элементы равны 0

2. Единичная матрица

Одна из диагоналей 1, остальное 0

3. Диагональные матрицы

Одна из диагоналей в значениях, остальное 0

4. Блочно-диагональные матрицы

Одна из диагоналей в значениях блоками, остальное 0

5. Блочные матрицы

Матрицы состоящие из матриц

9. Основные законы алгебры матриц

   1. Закон коммутативности сложения

A+B=B+A

2. Закон не коммутативности умножения

AxB BxA

3. Закон ассоциативности сложения и умножения

A+(B+C)=(A+B)+C Ax(BxC)=(AxB)xC

4. Сумма и произведение транспонированных матриц

(A+B)^T=A^T+B^T (AxB)^T= B^Tx A^T

5. Общие законы

10. Детерминант (определитель)

Детерминант квадратной матрица порядка n называется сумма N! слагаемых каждое из которых является правильным произведением элементов матрицы и имеет знак + если соответствует подстановка чётная и - а противном случае.

11. Правила подсчета детерминантов порядка 1, 2, 3

1. В первом порядке он равен элементу a₁₁

2. во втором a₁₁xa₂₂-a₂₁xa₁₂

3.Треугольниками или 2 доп столбиками

12. Основные свойства детерминантов (8 свойств)

1.Если какая-либо строка или столбец состоит из о то детерминант равен 0.

2.Если есть 2 одинаковых столбца или 2 одинаковые строки то детерминант равен 0

3. Если есть 2 пропорциональных столбца или 2 пропорциональные строки то детерминант равен 0.

4. При транспонировании детерминант не меняется

5.Если в определителе поменять местами 2 строки или 2 столбца, то значение детерминанта изменит знак на противоположный.

6.Правило умножения детерминанта на число: выбрать строку или столбец и умножить все элементы этой строки или столбца на число.

7.При элементарных преобразованиях детерминант не меняется.

8.Представление детерминанта в виде суммы: представить строку или столбец в виде суммы. тогда его можно представить в виде суммы в которых все стоки(столбцы) остались прежними кроме выбранной. В получившихся детерминантах соответственные строки (столбцы) будут состоять из слогаемых.

13. Теорема о детерминанте произведения матриц

Детерминант произведения равен произведению детервинантов.

14. Теорема о детерминанте суммы матриц

Детерминант суммы матриц равен сумме детерминантов каждый из которых получен с помощью неповторяющихся наборов из строк (столбцов) исходных матриц. Либо для строк, либо для столбцов.

15. Минор

Минором порядка К (k<=n) матрицы А_n называется детерминант k-ого порядка составленная из элементов исходной матрицы накодящихся на пересечении k строк и k столбцов.

16. Дополнительный минор

Дополнительным минором порядка n-k к минору M_k называется детерминант состоящий из элементов не находящихся в строках и столбцах из которых состоит M_k

17. Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением порядка n-k к минору M_k называется произведение дополнительного минора к M_k и (-1)ⁿ где n-сумма строк и столбцов дополнительного минора.

18. Теорема Лапласа и ее следствия (2 следствия)

Пусть дана матрица порядка n. Зафиксируем в матрице произвольных k строк (k<n). детерминант матрицы порядка n равен сумме произведения миноров k- ого порядка расположенных в фиксированных k строках на соответственные им алгебраические дополнения.

следствие 1 (k=1)

Детерминант матрицы равен сумме произведения элементов фиксированной строки на соответственные им алгебраические дополнения.

следствие2

Сумма произведений элементов некоторой фиксированной строки на алгебраическое дополнение элементов другой фиксированной строки равна 0.

19. Обратная матрица

Матрица В называется правой(левой) обратной матрицей к A если выполнено условие АхВ=Е(единичная) (ВхА=Е). правая и левая матрицы совпадают если элементами являются элементы из числовых полей.

20. Теорема об обратной матрице

Матрица имеет обратную только если её детерминант не равен 0.

21. Теорема Крамера

Система из n уравнений с n неизвестными в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i = _i/, где

 = det A,  а _i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i. (другими словами вместо столбиков х,y,z подставляется то, что стоит за знаком «=»)

22. Минорный ранг матриц

Минорным рангом матрицы А m x n называется наивысшая размерность минора матрицы А, det которой отличен от нуля.

Другими словами, минорный ранг есть число r, обладающее некоторыми свойствами:

1. Среди миноров порядка r существует о крайней мере хотя бы 1 минор отличный от нуля

2. Все миноры чьи порядки строго больше чем r, равны нулю

23. Ранг матриц по строкам Рангом матрицы A m x n по строкам называется максимальное кол-во всех линейно-независимых строк матрицы А

24. Теорема о ранге матриц

Ранг матрицы по строкам равен рангу матрицы по столбцам.

Минорный ранг матрицы равен равен рангу матрицы по строкам(столбцам)

25. Теорема о базисном миноре

Максимальная система линейно независимых строк в матрице совпадает с базисным минором

26. Свойства ранга матриц (3 свойства)

1. Ранг матрицы не превосходит минимального из значений строк или столбцов матрицы r (A) =< min {m,n}

2. Ранг произведения матрицы и невырожденной матрицы равен рангу исходной матрицы r(A)= r (A x H), det H<>0

3. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется. Каждое элементарное преобразование можно выразить с помощью невырожденной матрицы специального вида

27. Неоднородные и однородные СЛУ СЛУ называется неоднородной (СЛНУ) где хотя бы 1 из свободных коэффициентов отличен от нуля

28. Решение СЛУ

Решением СЛУ называется такой набор значений γ1+ γ2+..+ γn, после подстановки которых вместо неизвестных в каждое из уравнений обращается в тождество

29. Совместные и не совместные СЛУ

СЛУ называется совместной если она имеет решение, в противном случае называется несовместной

30. Определенные и неопределенные СЛУ

СЛУ называется определенной однозначной если она имеет 1 решение

31. Теорема Кронекера-Капелли

СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной

32. Основная и расширенная матрица СЛУ

Если имеем систему линейных уравнений, то таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы. Если к ней добавить столбец свободных членов - и получим РАСШИРЕННУЮ матрицу системы. (Другими словами, все что до «=» основная, + коэффициенты за «=» расширенная)

33. Краткие сведения о методе гаусса

При решении СЛУ по методу Гаусса могут возникать следущие случаи:

1. После некоторого шага по методу гаусса одно из уравнений может иметь вид:

0х1+0х2+0хn = b => ранг основной матрицы не равен рангу расширенной, и поэтому исходная СЛУ не совместима (Теорема Кронекера-Капелли)

2. После некоторого шага может оказаться, что все линейно зависимые уравнения в исходной СЛУ могут быть удалены из рассмотрении и останется в точности r линейно независимых уравнений r<m . Данное число будет совпадать с рангом основной матрицы( и с рангом расширенной в случае совместности). Для дальнейшего решения множество неизвестных (х1, х2, х3...xn) можно разбить на 2 вида:

1) x1,x2..xr – зависимая или базисная переменная (r штук). Количество базисных переменных в точности совпадает с рангом основной матрицы

2) х_r+1,x_r+2…x_n оставшиеся (n-r штук) являются свободными переменными через которые выражаются базисные переменные

34. Линейная комбинация векторов и скаляры

Решение СЛУ можно трактовать как вектор вида (α1+ α2+…+ αn). Пусть дана система векторов (e1,e2…en)(*) Линейной комбинацией векторов системы (*) называется сумма вида 1e1+ 2e2+ (**) , где λ1, λ2… λn – произвольные действительные или комплексные коэффициенты, называемые так же скалярами