Лекции по Сопромату. Подробный и полнейший конспект лекций по сопротивлению материалов / 11

Лекция № 11. Основные понятия теории надежности конструкций

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

   Согласно ГОСТ 27.002—89 «Надежность в технике. Термины и определения» надежность конструкции есть свойство сохранять во времени способность к выполнению требуемых функций в заданных режимах. Одним из основных понятий Теории надежности конструкций является понятие предельного состояния. Условие прочности по существу есть условие обеспечения прочностной надежности.

   Основной особенностью реальных условий эксплуатации машин и конструкций является случайный характер взаимодействия с окружающей средой. Это проявляется в том, что мы не можем достоверно предвидеть все типы внешних нагрузок и их величины, которые могут встретиться в процессе эксплуатации. Кроме того, источником неопределенности могут быть случайные свойства материалов. Например, предельное напряжение , входящее в условие прочности, по своей природе является случайным. Его величина зависит от многих факторов: марки материала, технологии изготовления, размеров детали или конструкции, условий эксплуатации и др. Случайный характер механических свойств материалов наглядно проявляется при испытаниях, обнаруживающих значительный разброс экспериментальных данных. Источник неопределенности связан также с разбросом размеров при изготовлении конструкций: в принципе невозможно выдержать абсолютно точно геометрические параметры конструкции, при их изготовлении допускаются некоторые отклонения.

В случае одномерного напряженного состояния

(1)

напряжение , зависящее от внешних нагрузок, при определенных условиях может принять довольно большое значение, а предельное значение может оказаться малым, так что это неравенство нарушится. Если стечение обстоятельств, приводящее к нарушению условия прочности, редкое событие, то приходим к вероятностной трактовке условия прочности с позиций теории надежности. Вероятностью называется числовая характеристика степени возможности наступления некоторого события в определенных многократно воспроизводимых условиях. Вероятность события А можно оценить на основе опытных данных. Если проводится достаточно большое число опытов N, в которых событие Л появилось NA раз, то можно считать, что вероятность появления этого события равна

P(A)=N_А/N.

   Вероятность как мера возможности наступления события удовлетворяет условиям , причем значение Р=0 соответствует невозможному событию, а значение Р=1 — достоверному событию.

   Вероятность события, заключающегося в выполнении условия (4.1) Р() в теории надежности называется вероятностью безотказной работы. Вместо условия прочности (1) записывается условие

Р()=Р*,

(2)

где Р_* —заданное достаточно высокое значение вероятности, которое называется нормативной вероятностью безотказной работы. В этом случае говорят, что условие прочности обеспечено с вероятностью Р_*.

 

РАСЧЕТНЫЕ НАГРУЗКИ, КОЭФФИЦИЕНТЫ ЗАПАСА

   Условие прочности (1) записано через напряжения, которые вычисляются через внешние нагрузки, приложенные к конструкции. Пусть внешние нагрузки определены с точностью до одного параметра S, а напряжение связано с этим параметром зависимостью

.

Тогда условие прочности (1) можно записать через внешние нагрузки

S < R

(3)

   Здесь через R обозначено предельное значение нагрузки, т.е. такое ее значение, которое приводит к предельному состоянию

.

   Величина R, зависящая от свойств материала и условий нагружения, называется несущей способностью или сопротивлением.

При заданном значении S отношение

называется коэффициентом запаса. Он обозначает, что сколько раз нужно увеличить нагрузку, чтобы достичь предельного состояния. Вместо условия прочности (2) можно записать эквивалентное условие

n > 1

(4)

   Если нагрузка и свойства материала являются случайными, то условия прочности (3) и (4) теряют смысл, их нужно заменить вероятностными условиями типа (2):

P(S<R)=P_*,

или

P(n > 1)=P_*.

При этом коэффициент запаса п также будет случайным.

   Практически расчет на прочность с учетом случайного характера внешних нагрузок и случайных свойств материала проводится следующим образом. Вводится некоторое характерное значение нагрузки [S]. Это значение, называемое допускаемым или нормативным значением, можно найти из условия

P(S<[S])=[PS],

(5)

где [P_S] —; некоторое значение вероятности, называемое обеспеченностью. Аналогично вводится нормативное значение [R] несущей способности

P(R>{R]=[PR].

(6)

Отношение

[n]=[R]/[S]

(7)

называется нормативным коэффициентом запаса. Этот коэффициент зависит от условий нагружения, от свойств материалов, условий работы конструкции, степени ее ответственности и ряда других факторов. Такой коэффициент назначается, исходя из многолетнего опыта эксплуатации конструкций, и для каждого типа конструкций задается нормативно-технической документацией.

   В качестве нормативных значений [S] и [R] можно выбрать средние значения соответствующих случайных величин

где S_j и R_j экспериментально полученные значения случайных величин в серии из N опытов. Однако в действующих нормах, в частности, строительных, нормативные значения не совпадают со средними значениями, а сдвинуты в сторону более опасных значений, что связано со значительным разбросом опытных данных около средних значений. Для нагрузки принимается несколько большее значение, а для несущей способности — меньшее

где коэффициенты и находятся из уравнений (5) и (6). Таким образом, нормативный коэффициент запаса (7) вычисляется через средние значения следующим образом:

   С учетом случайного характера внешних нагрузок и сопротивлений условие прочности (3) заменяется следующим условием

S_P < R_P.

Здесь S_Р —; достаточно редко встречающееся в реальных условиях эксплуатации высокое значение нагрузки, R_Р —; также достаточно редко встречающееся низкое значение несущей способности. Эти значения называются расчетными. Они находятся из уравнений

	(8)
	(9)

   В правой части уравнений содержатся нормативные значения вероятности безотказной работы, которые близки к единице (0,95; 0,99; 0,999;...).

   Расчетные значения нагрузок и несущей способности можно выразить через средние значения этих величин следующим образом:

где коэффициенты k_S >1 и k_P < 1 находятся из решения уравнений (8) и (9). Расчетные значения связаны с соответствующими нормативными значениями соотношениями

S_P = k_п[S], R_P = k_o[R].

Коэффициент

называется коэффициентом однородности (меньше единицы). Другой коэффициент, учитывающий случайный характер несущей способности,

называется коэффициентом однородности (меньше единицы).

Это условие можно заменить равенством

S_P=R_P/m,

где коэффициент m >1 учитывает условия работы конструкции, степень ее ответственности. С учетом обозначения (7) для нормативного коэффициента запаса получим формулу, учитывающую случайные свойства нагрузки и несущей способности, а также степень ответственности конструкции

[n] = mk_п / k_о.

 

РАСЧЕТЫ ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАГРУЗКАМ И ПО ДОПУСКАЕМЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ

   Если пренебречь случайным разбросом прочностных свойств материала конструкции, то расчетное и нормативное значения, а также среднее значение несущей способности R совпадают

R_P = [R] = <R> = R,

а уравнение (7) позволяет получить выражение нормативной или допускаемой нагрузки через нормативный коэффициент запаса

[S] = R / [n].

При этом параметр несущей способности R связан с предельным значением напряжения.

Если на заданную конструкцию действует фиксированная неслучайная нагрузка S, то соотношение

N_S = R / S

определяет коэффициент запаса по нагрузке. При этом условие прочности можно переписать следующим образом

S < [S].

После подстановки условие прочности примет вид

n_S > [n]

Переход от нагрузок к вызываемым этими нагрузками напряжениям производится по ранее описанным соотношениям. Отношение

называется коэффициентом запаса по напряжениям. С учетом (4) и (6) можно получить связь между коэффициентами запаса по нагрузкам и по напряжениям

Рис.1. Вариабельность коэффициентов запаса

 

   В общем случае полученные коэффициенты запаса не совпадают, что видно из рис. 1. Равенство этих коэффициентов возможно только в том случае, когда зависимость между напряжениями и нагрузкой линейна. При нелинейной зависимости коэффициент теряет ясный физический смысл как число, на которое нужно умножить значение параметра внешней нагрузки, чтобы достичь предельного состояния. По аналогии можно ввести допускаемое напряжение

Расчет по допускаемым напряжениям

в общем случае дает результаты, отличные от расчетов по допускаемым нагрузкам. Эти результаты совпадают только в случае линейных зависимостей между напряжениями и нагрузкой.

   Следует отметить, что приведенные рассуждения относятся к понятию предельного состояния в точке, которое нужно отличать от предельного состояния конструкции. Предельное состояние в точке еще не означает потерю несущей способности конструкции. Пусть предельное состояние конструкции будет достигнуто при достижении параметром нагрузки S предельного значения R_*. Тогда локальное условие прочности нужно заменить условием

S < R_*.

   Расчеты с использованием этого условия носят название расчетов по предельному состоянию для конструкции. При этом говорят о конструкционной прочности в отличие от прочности материала, характеризуемой локальным пределом прочности или R. Конструкционная прочность зависит не только от прочностных свойств материала, но и от масштабного фактора, конструктивной формы, типа напряженного состояния, условий взаимодействия с окружающей средой и ряда других факторов.