39. Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости. Абсолютная и условная сходимости.

Ряды, содержащие как положит так и отриц члены.

Теорема. Пусть дан ряд , рассм - знакоположит ряд.

Теорема Коши. Если сходится ряд, состоящий из модулей , то сходится и знакопеременный ряд .

Определение. Если сходится ряд из модулей, то знакопеременный ряд абсолютно сходящийся, а если сходится, а ряд расходится, то ряд условно сходящийся.

39. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка остатка ряда.

Это ряды, члены которых поочередно меняют знак.

Теорема Лейбница. Если все члены знакочеред ряда удовлетв условиям:

1. 

2. 

То ряд сходится и его сумма . Такие ряды – ряды Лейбница.

Следствие. Остаток ряда Лейбница удовл нерав-ву

39. Ряды с комплекными членами.

Числовой ряд (1) ; ;

- ряды с комплексными членами.

- действит часть ряда - мнимая часть ряда.

; – если сущ, то ряд сходится.

1. Сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды из действит и мнимой частей, при этом

Теорема. Если сходится ряд , то сходится и ряд

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей .

Сходящийся ряд (1), которому соотв расходящийся ряд из модулей называется условно сходящимся.

Ряд (1) сходится абсолютно, когда сходятся и . Если ряд (1) сходится абсолютно, то он сходится.

Если сходится, то . Если , то расходится.

39. Функциональные ряды. Область сходимости. Понятие ранвомерной сходимости. Признак Вейерштрасса.

Рассм послед-ть (1) – функциональный ряд, заданный на множестве X.

– сходится, то – точка сходимости функц ряда (1). Множество всех точек сходимости – область сходимости ряда.

D – область сходимости функц ряда (1).

; ;

Если (1) сходится, то

ряд (1) сходится с точке х.

Функц ряд (1) равномерно сходится в D в ф-ии S(x), если для любого

. Поточечная сходимость – неравномерная.

Признак Вейерштрасса. Если члены функц ряда удовл условию и ряд сходится, то ряд (1) сходится равномерно в области D.

Замечание 1. Признак Вейерштрасса – достаточное условие равномерной сходимости.

Замечание 2. Мажорируемость ряда явл достаточным условием его равномерной сходимости, а также и абсолютной сходимости в этой же облачти D.

39. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

1. Теорема о непрерыности суммы функционального ряда. Если на множестве D функц ряд с непрерывными членами сходится равномерно, то его сумма S(x) непрерывна на области D.

2. Теорема о почленном интегрировании функционального ряда. Если функц ряд с непрерывными членами сходится к ф-ии S(x) на отрезке , то его можно почленно интегрировать на . Справедливо равенство: . При этом ряд сходится равномерно на .

3. Теорема о почленном дифференцировании функционального ряда. Дан функц ряд , непрерывно дифференцируема на . Если ряд (1) сходится к ф-ии S(x), а ряд сходится равномерно на , то исходный ряд (1) сходится равномерно на , а его сумма S(x) непрерывно дифференцируема на .