16. Поверхностный интеграл 1-го рода. Определение и простейшие свойства этого интеграла.

Рассмотрим гладкую гораниченную поверхность: . ; . В точке построим плоскость, касательную к ней. . .

Если существует конечный предел суммы (при ) и этот предел не зависит от способа разбиения и выбора точки, то это предел называется площадью поверхности Q, а сама поверхность квадрируема.

Пусть f(M) .

Если существует конечный предел интегральных сумм , при условии что диаметр частей разбиения области Q и этот предел не зависит от способа разбиения и выбора точек на поверхности, то этот предел – интеграл по поверхности 1-го рода ф-ии f. . Ф-я интегрируема по поверхности, если существует поверхностный интеграл.

Свойства:

1. , где с – число

2. 

3. .

4. .

5. – площадь поверхности

16. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода сведеением к двойному интегралу.

Пусть Q задана z=z(x,y) – непрерывной и дифференцируемой функцией.

16. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода в механике.

Масса поверхности. Пусть плотность распределения массы

Моменты, центр тяжести поверхности. Статические моменты, координаты центра тяжести материальной поверхности Q находятся по след формулам:

16. Интеграл по ориентированной фигуре от векторной функции. Теорема существования. Простейшие свойства.

Фигура называется ориентированной, если на ней задан некий вектор , который дает хар-ку фигуры. Ориентированная кривая, если в ней выбрано направление перемещения.

– гладкая ограниченная.

Рассмотрим поверхность в пространстве .

Двусторонняя пов-ть такая, если нормаль Q при обходе любого замкнутого контура на пов-ти, не содержащей точки границы, возвращается в исходное положение (сфера, плоскость). Гладкая пов-ть, в каждой точке которой имеется касательная плоскость.

Разобъем Ф на элемент с . . Найдем произведение: .

Если предел при существует и конечен, не зависит от разбиения и выбора точек , то такой предел – интеграл по фигуре от векторной функции.

Если ф-ии X(x,y,z), Y(x,y,z), Z(x,y,z) непрерывны на ограниченной гладкой фигуре Ф, то интеграл от векторной ф-ии существует.Свойства:

1. Ф

2. .

3. ;

4. 

16. (+25) Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода, его механическое истолкование (+теорема и формула Остроградского-Грина).

Пусть кривая Lзадана параметрически уравнениями x=x(t), y=y(t), где ф-ии x(t0, y(t) непрерывны вместе со своими производными x’(t), y’(t) на отрезке .

Если кривая L задана уравнениями , где ф-я и ее производная непрерывны на отрезке , то:

Рассмотрим кривую L замкнутую, кусочно-гладкую, положительно ориентированную. Является границей односвязной области D. Рассмотрим ;

; непрерывны

Теорема: если кривая L кусочно-гладкая, замкнутая, положительно ориентированная является границей односвязной области , вектор ф-ии определен, а ф-ии , непрерывны в области D и на ее границе, то справедливо следующее равенство:

- формула Остроградского-Грина.