Свойства интегралов по фигуре от скалярных функций.
;
c=const
;
.
Теорема о среднем. Если f(p) определена и непрерывна на фигуре Ф и на ее границе, то найдется по крайней мере одна точка на этой фигуре, такая что справедливо равенство:
Применение интегралов по фигуре от скалярной функции в геометрии.
Рассмотрим задачу об объеме цилиндра.
;
;
;
;
Область D называется правильной (выпуклой) вдоль оси Х, если любая прямая, параллельная оси Х и пересекающая эту область, пересекает границу области не более 2х раз. Область правильная вдоль оси У – аналогично.
Предположим, что область D правильна дволь оси y. Отрезок AB является проекцией области D на ось Ox.
.
Т.о.
Криволинейный интеграл 1 рода. Определение и простейшие свойства.
Если
сущ предел интегральных сумм
при условии, что
и этот предел не зависит от способа
разбиения кривой и от выбора точек
,
то этот предел – криволинейный интеграл
по скалярной функции по кривой L
(криволинейный интеграл 1-го рода).
f(M)
интегрируемая ф-я по кривой L.
В каждой точке ф-я
– плотность распределения масс.
Свойства:
Пусть
интегрируемы по кривой L.
.
Тогда:
также интегрируема по кривой L.
.
Свойство линейности.Аддитивность.
.
Если
интегрируемы
по кривой L,
то
Теорема о среднем. Если непрер ф-я f(M) интегрируема по ограниченной связной замкнутой линии L, существует такая точка
,
что:
l
– длина кривой.
Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода по кривой на плоскости в зависимости от способа задания кривой.
Пусть L задана явно уравнениями: y=y(x) – непрер диффер ф-я.
.
;
Если кривая L задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t),
.
Где x(t)
y(t)
– непрер диффер ф-ии параметра t,
то:
Если кривая L задана уравнением
в полярных координатах, то
и
Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода по кривой в пространстве.
L
гладкая и задана:
. разобъем отрезок
на n
частей, так что
.
-
длина отрезка кривой. И найдется такая
точка t=
,
что
Выберем
точку
;
– диаметр
отрезка
.
– если
кривая задана параметрически. Очевидно,
что:
– длина кривой L.
Приложения криволинейного интеграла 1-го рода в механике и геометрии.
Длина
кривой.
Площадь
цилиндрической поверхности. Если
направляющей цилиндрической поверхности
служит кривая L,
лежащая в плоскости Oxy,
а образующая параллельна оси Oz,
то площадь поверхности, задаваемой ф-ей
z=f(x,y),
находится по формуле:
.
Масса
кривой.
– плотность кривой в точке M.
Статические моменты, центр тяжести. Статические моменты относительно осей Ox, Oy и координаты центра тяжести материальной кривой L определяются по формулам:
