1.16. Метод векторных планов

Некоторые физические величины, характеризующие состояние исследуемой системы, могут быть математически представлены в виде направленных отрезков (векторов). Например, векторными величинами являются скорости и ускорения точек механической системы, силы, приложенные к системе, переменные ток и напряжение в электрической цепи и т.п. В подобных случаях процессы, протекающие в системе, описываются векторными уравнениями. Если векторы, входящие в уравнения, находятся в одной и той же плоскости, то уравнения могут быть решены путем геометрических построений векторов на плоскости в заранее принятом масштабе. В этом заключается идея метода векторных планов. Когда требуется вычислить скорости и ускорения звеньев плоского механизма в каких-либо его положениях, метод векторных планов является удобным и часто применяется на практике.

Как известно из теоретической механики, скорость и ускорение любой точки твердого тела, совершающего плоское движение (Рис. 23), могут быть найдены с помощью векторных уравнений:

, ,

где - векторы абсолютных скорости и ускорения точки А тела, - вектор скорости точки B относительно точки A, - векторы нормального и тангенциального (касательного) ускорений точки B относительно точки A. Модули векторов , вычисляются по формулам

, , ,

где ω, ε – угловые скорость и ускорение тела.

Векторные планы, соответствующие векторным уравнениям скоростей и ускорений, представлены на рис. 24.

Таким образом, выполнив графически сложение векторов и измерив на планах отрезки, соответствующие скорости и ускорению , получаем информацию о направлениях и величинах векторов и .

• Векторный план, показывающий распределение скоростей точек звеньев исследуемого механизма в заданном его положении, называется планом скоростей механизма.

• Векторный план, показывающий распределение ускорений точек звеньев исследуемого механизма в заданном его положении, называется планом ускорений механизма.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит идея метода векторных планов?

2. Почему метод векторных планов целесообразно применять в кинематическом анализе плоского механизма?

3. По каким векторным уравнениям определяются скорость и ускорение произвольной точки звена плоского механизма?

4. Что называют планом скоростей механизма? Планом ускорений?

1.17. Характеристики рабочих процессов

Характеристикой рабочего процесса называют математическую модель полезной нагрузки, приложенной к рабочему органу машины. Характеристика рабочего процесса представляется в виде:

,

где x – координата рабочего органа, t – время. Такую характеристику называют статической, так как она не учитывает того факта, что полезная нагрузка прикладывается к рабочему органу не мгновенно. Как правило, в большинстве задач силового анализа такого упрощенного представления о характере силы полезного сопротивления бывает достаточно. При необходимости учета постепенного приложения нагрузки переходят к динамической характеристике рабочего процесса:

,

где τ, с – постоянная времени полезной нагрузки. Нетрудно заметить, что при будем иметь статическую характеристику.

Пример 1.

Простейшая характеристика рабочего процесса подъемного крана имеет вид:

,

где m – наибольшая масса поднимаемого груза, - ускорение свободного падения.

Пример 2.

Характеристика рабочего процесса воздушного поршневого компрессора изображена на рис. 25: P – равнодействующая сил давления воздуха на поршень, x₁ – положение поршня, при котором закрыты впускной и выпускной клапаны (сжатие), x₂ – при котором открывается выпускной клапан (нагнетание), x₃ – при котором закрывается выпускной клапан (разрежение), x₄ – при котором открывается впускной клапан (всасывание).

Работа силы полезного сопротивления воздуха за один цикл вычисляется как площадь внутри характеристики рабочего процесса: .

Определение характеристик рабочих процессов конкретных машин и агрегатов не является задачей теории механизмов. Например, рабочие характеристики металлорежущих станков определяются в теории резания, компрессоров – в теории компрессорных машин и т.д.