Тема 6. Показатели страховой статистики

Натуральные показатели:

n – число объектов страхования (количество заключенных договор, число застрахованных объектов);

l – число страховых случаев (рисков);

m – число пострадавших объектов в результате страхового случая (число страховых случаев; количество выплат, страховых возмещений).

Стоимостные показатели:

∑P – сумма страховых платежей;

∑Q – сумма выплаченного страхового возмещения (обеспечения);

∑S_n – совокупная страховая сумма по всем объектам страхования;

∑S_m – совокупная страховая сумма, приходящаяся на поврежденные объекты страхования.

В зависимости от отношения к страховому фонду:

Показатели формирования страхового фонда: n, l, ∑P, ∑S_n.

Показатели использования страхового фонда: m, ∑Q, ∑S_m.

Расчетные (обобщающие) показатели страховой статистики.

1. Частота страховых событий:

Ч_с = l / n

Показывает, сколько страховых событий приходится на один объект страхования.

2. Опустошитель страхового события (коэффициент кумуляции страхового риска):

К_к = m / l

Показывает, сколько страховых случаев приходится на одно страховое событие. Чем выше коэффициент, тем выше риск.

3. Частота ущерба (вероятность наступления страхового случая):

Ч_у= Ч_с * К_к = m / n < 1.

4. Коэффициент убыточности (степень ущербности/убыточности):

К_у = ∑Q / ∑S_m

Показывает размер выплат приходящихся на один рубль страховой суммы поврежденных объектов.

5. Средняя страховая сумма на один объект (договор) страхования:

С_д = ∑S_n / n.

По данному показателю судят о размерах застрахованных объектов.

6. Средняя страховая сумма на один пострадавший объект:

С_по = ∑S_m / m

Если С_д < С_по, то страховые случаи произошли с крупными объектами.

7. Тяжесть риска:

Т_р = С_по / С_д

Используется при оценке и переоценке частоты проявления страхового события.

8. Убыточность страховой суммы (вероятность ущерба):

У_с = ∑Q / ∑S_n < 1

Характеризует размер выплат с одного рубля страховой суммы.

9. Норма убыточности:

Н_у = (∑Q / ∑P) * 100%

Используется при оценке финансовой устойчивости страховых компаний. Пороговый уровень – 70%.

10. Средняя страховая выплата на один страховой случай:

С_в = ∑Q / m.

11. Тяжесть ущерба (степень ущерба, вероятность распространения ущерба):

g = К_у * (∑S_m / m) / (∑S_n / n) = (∑Q / m) / (∑S_n / n) = С_в / С_д

Тема 7. Актуарные расчеты. Сущность, особенности и задачи

Актуарные расчеты – это совокупность математических и статистических закономерностей регламентирующих финансовые взаимоотношения между страховщиком и страхователем, которая отражает в математическом виде механизм образования и расходования страхового фонда в долгосрочных страховых операциях.

К актуарным расчетам относят расчеты тарифов по любому виду страхования, включая страхование жизни на случай инвалидности и страхование имущества.

При осуществлении имущественного страхования имеет место большой разброс в объемах наносимого ущерба, например стоимость домашнего имущества и стоимость промышленного оборудования, поэтому актуарные расчеты в имущественном страховании рисковая надбавка не рассчитывается как при страховании жизни, т.к. в этих случаях страховые суммы сравнительно невелики.

Общий смысл актуарных расчетов - с их помощью определяется доля участия каждого страхователя в создании страхового фонда, т.е. определяются размеры тарифных ставок.

Методология актуарных расчетов использует теорию вероятностей, демографию и долгосрочные финансовые исчисления.

Основы теории актуарных расчетов заложены в XVII в. работа­ми ученых Д. Граунта, Яна де Витта, Э. Галлея. В 1662 г. была опубликована работа английского ученого Д. Граунта «Естест­венные и политические наблюдения, сделанные над бюллетенем смертности». Он первый обработал данные о смертности людей и построил таблицы смертности. В это же время голландский уче­ный Ян де Витт опубликовал работу о тарифах по страхованию пожизненной ренты, где изложил метод исчисления страховых взносов в зависимости от возраста застрахованного и нормы роста денег. Дальнейшее развитие теория актуарных расчетов получила в работах английского астронома и математика Э. Галлея. Он дал оп­ределение основных таблиц смертности. Предложенная Э. Галлеем форма таблиц применяется до сих пор.

Основные задачи актуарных расчетов.

1. Исследование и группировка рисков в рамках страховой совокупности, т.е. выполнение требований научной классификации рисков с целью создания гомогенной подсовокупности в рамках страховой совокупности.

2. Математическое обоснование необходимых резервных фондов страховщика, предложение конкретных методов и источников формирования этих фондов.

3. Исчисление математической вероятности наступления страхового события, определение частоты и степени тяжести последствий наступления ущерба как в отдельных рисковых группах так и в страховой совокупности в целом.

4. Математическое обоснование необходимых расходов на ведение дела страховщиком и прогнозирование тенденций их развития.

Актуарные расчеты получили название от слова «actuary» (скорописец, счетовод). Актуарий – это специалист по страхованию, занимающийся разработкой научно-обоснованных методов исчисления страховых тарифов и их расчетов.

Особенности актуарных расчетов.

1. События, подвергающиеся оценке, имеют вероятностный характер.

2. В отдельные годы общая закономерность проявляется через массу обособленных случайных событий, наличие которых предполагает значительные колебания страховых выплат.

3. Исчисление себестоимости услуги оказываемой страховщиком производится в отношении всей страховой совокупности.

4. Необходимо выделение специальных резервов, находящихся в распоряжении страховщика и определение их оптимальных размеров.

5. Прогнозирование и сторнирование договоров страхования, экспертная оценка их величины.

6. Исследование норм ссудного процента и тенденций его измерения в конкретном временном интервале.

7. Наличие полного или частичного ущерба связанного со страховым случаем, что предполагает потребность измерения его величины с помощью специальных таблиц и формул.

8. Соблюдение принципа эквивалентности между платежами страхователя и страховыми выплатами.

9. Выделение групп риска в рамках данной страховой совокупности.

Классификация актуарных расчетов.

I. По объектам страхования:

1) расчеты по страхованию имущества;

2) расчеты по страхованию гражданской ответственности;

3) расчеты по страхованию финансовых рисков;

4) расчеты по страхованию жизни, здоровья и трудоспособности.

II. По иерархическому признаку:

1) общие расчеты (вся территория страны и общие данные по всем рискам);

2) региональные расчеты;

3) расчеты по конкретной страховой организации.

III. По временному признаку:

1) отчетные расчеты (производятся по операциям страховщика на конец отчетного периода);

2) плановые расчеты (рассчитываются по новым видам страхования).

IV. По капитализации дохода:

1) расчеты по долгосрочному страхованию (проводятся в интервале от 1 года с учетом временной стоимости денег);

2) расчеты по рисковым видам страхования (проводятся в течение года).

Классическая формула расчета тарифов (брутто-ставка):

Т_б = Т_н + Н,

где

Т_н – нетто-ставка;

Н – нагрузка.

Единицы измерения: рубли со 100 руб. страховой суммы.

Главную роль в формуле играет нетто-ставка, она должна обеспечивать эквивалентность финансовых взаимоотношений между страховщиком и страхователем. Главная цель страховщика собрать столько взносов, сколько предполагается осуществить выплат.

Брутто-ставка – это сумма нетто-ставки, обеспечивающей страховые выплаты и нагрузки к ней, предназначенные для покрытия других расходов связанных с проведением страхования.

Н = Р_пм + Р_в + П,

где

Р_пм – расходы на предупредительные мероприятия;

Р_в – расходы на ведение страхового дела;

П – прибыль страховой компании.

Единицы измерения: рубли со 100 руб. страховой суммы.

Значение нагрузки (Н): от 9% до 40%.

Расходы на ведение страхового дела включают в себя: аренда и содержание помещения страховой компании; заработная плата работников и страховых агентов; отчисления на соц. нужды; расходы на рекламу; инкассационные расходы, связанные с обслуживанием поступающих платежей (бланки, квитанции); ликвидационные расходы (услуги экспертов, судебные издержки).

Нетто-ставка вычисляется по формуле:

Т_н = Т_но + Т_р,

где

Т_н – нетто-ставка;

Т_но – основная часть нетто-ставки;

Т_р – рисковая надбавка.

Р(А) = m / n,

где

m – число пострадавших объектов;

n – количество заключенных договоров.

0 < Р(А) < 1

Т_но = Р(А) * g * 100,

где

Р(А) – вероятность наступления страхового случая;

g – тяжесть ущерба (поправочный коэффициент k).

g = k = С_в / С_д,

где

С_в – средняя выплата на один страховой случай;

С_д – страховая сумма на один заключенный договор.

Т_но = ∑Q / ∑S_n * 100 = У_с * 100,

где У_с – убыточная страховая сумма.

Т_р = 1,2 * Т_но * α * [(1 – Р(А)) / (n * Р(А))]^1/2,

где

α – коэффициент гарантии безопасности;

β – вероятность превышения возможных страховых выплат над собранными страховыми платежами;

n – количество планируемых договоров.

Данная формула используется при отсутствии данных о разбросе возможных страховых возмещений.

Т_р = Т_но * α * [(1 – Р(А) + (R / С_д)²) / (n * Р(А))]^1/2,

где R – средний разброс страховых выплат.

Т_б = Т_н + Н_абс

Т_б = Т_н / (100 – Н_отн) * 100

Т_б = (Т_н + Н_абс) / (100 – Н_отн) * 100

Общая относительная нагрузка:

Н = (Т_б – Т_н) / Т_б * 100%

Актуарные расчеты в личном страховании. Продолжительность жизни отдельного человека является случайной величиной, однако установлено, что демографический процесс смены поколений подчинен «закону больших чисел», что позволяет осуществлять расчеты с достаточно достоверными результатами.

Расчеты нетто-ставок по смешанному страхованию жизни ведутся с использованием показателей таблицы смертности по следующим формулам:

_nE_x = λ_x+n * Vⁿ / λ_x * S;

_nA_x = (d_x * V + d_x+1 * V² + … + d_x+n–1 * Vⁿ) / λ_x * S,

где

_nE_x – единовременная нетто-ставка по страхованию на дожитие для лица в возрасте х лет при сроке страхования n лет;

_nA_x – единовременная нетто-ставка по страхованию на случай смерти;

λ_x, d_x – соответствующие показатели таблицы смертности для лица в возрасте х лет;

Vⁿ – дисконтирующий множитель:

Vⁿ = 1 / (1 + i)ⁿ,

где

i – годовая норма доходности (технический процент);

S – страховая сумма, д.е.

Используя показатели смертности, дожития, дисконтирующий множитель V определяет систему коммутационных чисел.

Коммутационные функции. Для сокращения записи страховых аннуитетов и упрощения расчетов применяют так называемые коммутационные функции (commutations functions), или коммутационные числа. Смысл этих чисел трудно, хотя и возможно, содержательно интерпретировать. Их проще воспринимать как чисто технические, вспомогательные средства.

Стандартные коммутационные функции делятся на две группы. В основу первых положены числа доживающих до определенного возраста, вторых – числа умерших. Кратко остановимся на методике получения наиболее важных в практическом отношении функций. Основными в первой группе являются функции D_x и N_x:

D_x = l_x * υ^x

N_x = ΣD_j,

где j = x…ω, υ – дисконтный множитель по сложной ставке i, ω – предельный возраст, учитываемый в таблице смертности.

По определению

N_x = N_x+1 + D_x

N_ω = D_ω

В некоторых актуарных расчетах необходимы суммы коммутационных чисел D_x для заданных возрастных интервалов. В этих случаях можно воспользоваться коммутационными числами N_x:

Σ D_x+i = N_x+1 – N_x+k+1,

где i = 1…k.

На практике применяются еще два варианта функции N_x, к которым обращаются тогда, когда платежи производятся m раз в году. Так, для платежей постнумерандо с достаточной для практических расчетов точностью применим следующее выражение:

N^(m)_x ~ N_x + (m – 1) / 2m * D_x

Для платежей пренумерандо:

N^(m)_x ~ N_x – (m – 1) / 2m * D_x

Наиболее важными коммутационными функциями второй группы являются C_x и M_x:

C_x = d_x * υ^x+1

M_x = ΣC_j,

где j = x…ω.

Между коммутационными числами обеих групп существуют определенные взаимозависимости:

C_x = d_x * υ^x+1 = (l_x – l_x+1) * υ^x+1 = l_x * υ^x * υ – l_x+1 * υ^x+1 = D_x * υ – D_x–1

Аналогично можно доказать, что:

M_x = N_x * υ – N_x+1

Страховые организации разрабатывают таблицы коммутационных функций с учетом принятых в них норм доходности.

При страховании супружеских пар возникает необходимость в коммутационной функции:

D_xy = l_xy * υ^(x+y)/2

Величина l_xy определена при расчете _nр_xy. Функцию D_xy можно получить на основе коммутационных функций D_x и D_y, следующим образом:

D_xy = D_x * D_y * υ^–(x+y)/2 = D_x * D_y * (1 + i)^(x+y)/2

В свою очередь:

D_xy+n = l_xy+n * υ^n+(x+y)/2

D_xy+n = D_x+n * D_y+n * υ^{–[n+(x+y)/2]} = D_x+n * D_y+n * (1 + i)^n+(x+y)/2

Поскольку произведения коммутационных чисел имеют большую размерность, то их обычно умножают на 10.