Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
Определение равномерной непрерывности
Функция f: X → R называется равномерно-непрерывной на множестве X, если
Если функция f не является равномерно-непрерывной, то это означает следующее:
Теорема Кантора
Понятие производной. Односторонние и бесконечные производные. Непрерывность функции, имеющей производную. Производная сложной функции.
Определение:
Производной
функции 
называется
предел отношения приращения функции к
приращению аргумента, т.е. 
.
Приращение
аргумента также обозначают так: 
-
приращение x. Тогда приращение функции
можно обозначить так: 
,
и производную записать в виде: 
,
или, обозначив 
.
Для обозначения производной применяются
различные
символы: 
или 
(Лейбниц); 
или 
(Лагранж); 
или 
(Коши).
Односторонние
производные:
Пусть дана функция 
Тогда
существует конечная производная 
тогда
и только тогда, когда существуют конечные
и равные односторонние производные 
,
так как по свойству пределов функции,
согласно которому для существования
предела необходимо, чтобы оба его
односторонних предела существовали и
были равны, имеем: если 
,
то существует 
,что
является производной функции в точке
,
при этом 
.
Бесконечные
производные: Если
предел отношения 
при 
равен (или
+,
или -),
то эти несобственные числа тоже называют
производной, и обозначают обычным
образом, например 
.
Аналогично определяются односторонние
бесконечные производные. Геометрически
это означает, что график функции в
соответствующей точке имеет касательную,
параллельную оси Оу.
Непрерывность функции, имеющей производную.
Теорема: Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x = x0, то она в этой точке непрерывна.
Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x0 функция y = f(x) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x| непрерывна для всех x (–Ґ< х < Ґ), но в точке x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.
Производная сложной функции
Теорема:
Пусть функция
,
определенная и непрерывная в окрестности
,
имеет производную в точке
.
Функция
определена и непрерывна в окрестности
,
где
,
и имеет производную в точке
.
Тогда сложная функция
имеет производную в точке
и
.
ДОК.
,
где
и
-
б.м.ф. Тогда
и
,
где
б.м.ф. в точке
.
Тогда
.
Производная суммы, произведения и частного двух функций.
Производная суммы (разности) функций
Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.
Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:
Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,
Производная произведения функций.
Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и
Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.
Производная частного функций.
Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле
