14. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное.

Свойства:

• Любая последовательность, имеющая предел, является фундаментальной.Критерий Коши для сходимости функциий : Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

• Если фундаментальная последовательность   содержит сходящуюся подпоследовательность  , то она сама сходится.

Последовательность точек   метрического пространства   называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши:

для любого   существует такое натуральное  , что   для всех  .

15. -----------------------

16. Критерий Коши существования предела функции в точке (без док-ва)

Функция f имеет в точке x₀ Предел в том и только в том случае, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек х" и х"", удовлетворяющих условию ½х’ - x₀ ½ < d, ½x"" — x₀½ < d, x"  ¹ x₀, x"’ ¹ x₀, выполняется неравенство ½f (x"" ) — f (x")½ < e.

17. Доказать. (Первый замечательный предел)

  Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере, при условии стремления этой дуги к нулю

.

  Непосредственное вычисление предела

приводит к неопределённости вида  .     Из геометрических соображений имеем S_OAС< S_OAC < S_OBC. Используя формулы площадей рассматриваемых фигур, получим

или

sin x < x < tg x

Разделив все части неравенства на sin x > 0, получим при условии х > 0

,

или

.

Так как функция у = cos x непрерывна, то

.

Пользуясь теоремой о пределе промежуточной функции, получим окончательно

.

  Замечание. Если х < 0, то знаки неравенств изменяются на противоположные, выводы же остаются прежними.

18. Доказать (Второй замечательный предел)

  Ранее для натурального n было доказано

.

  Докажем, что для любого действительного x имеет место так же равенство

.

  Доказательство. Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство n < x < n + 1. В том случае имеем n → ∞ ⇒ x→ ∞. По свойству для неравенств имеем

.

Прибавим ко всем частям неравенств единицу

.

По свойству степеней имеем

Так как

и

,

то по теореме о пределе промежуточной функции имеем также и

,

что и требовалось доказать. Для отрицательного х доказательство аналогично

19. Эквивалентность бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно малых функций по порядку малости. Главная часть. Необходимое и достаточное условие эквивалентности.

ОПР. Бесконечно малые в точке функции и называются эквивалентными, если .

Обозначение   . Отношение эквивалентности транзитивно:   ,  , то  и симметрично:     .

Необходимое и достаточное условие эквивалентности: Для того, чтобы функции α ( x ) и β ( x ) были при x → a эквивалентными

бесконечно малыми, необходимо и достаточно, чтобы разность α ( x ) − β ( x )

была бесконечно малой более высокого порядка, чем α ( x ) или β ( x ) .

(α ( x) : β ( x) при x → a ) ⇔

⎛ α ( x) − β ( x) α ( x) − β ( x) ⎞

⇔ ⎜ lim = 0 ∨ lim = 0 ⎟.

⎝ x →a α ( x) x →a β ( x) ⎠

Доказательство. Необходимость. Пусть α ( x) : β ( x) при x → a . Тогда

α ( x) − β ( x) β ( x) β ( x)

lim = lim(1 − ) = 1 − lim = 1 − 1 = 0;

x →a α ( x) x →a α ( x) x →a α ( x )

α ( x) − β ( x) α ( x) α ( x)

lim = lim( ) = lim − 1 = 1 − 1 = 0,

x →a β ( x) x→a β ( x ) x →a β ( x )

откуда следует, что α ( x) − β ( x) = 0(α ( x)) и α ( x ) − β ( x) = 0( β ( x )) .

Достаточность. Пусть, например, α ( x) − β ( x) = 0(α ( x)) , тогда

α ( x) − β ( x) β ( x) β ( x)

lim = 0 или lim(1 − ) = 0 ⇒ lim = 1 ⇒ α ( x) : β ( x).

x →a α ( x) x →a α ( x) x →a α ( x )