7. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Теорема об их связи.

Определение (бесконечно малая последовательность). Бесконечно малая последовательность — последовательность, предел которой равен 0. То есть

lim_n  x_n = 0

или более подробно с учетом определения предела >0  N:  n>N |x_n| <  x_n.

Определение (бесконечно большая последовательность). x_n – бесконечно большая последовательность, если  c>0  N:  n>N |x_n|>c.

Следует различать неограниченную и бесконечно большую последовательности. Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, однако неограниченная не обязательно является бесконечно большой. Рассмотрим следующий пример.

Теорема (об их связи). Если { х_n} — бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, то последовательность

бесконечно малая, и, обратно, если {α_n} — бесконечно малая последовательность и все её члены отличны от нуля {α_n} ≠ 0, то последовательность { 1 / α_n } – бесконечно большая.   Доказательство. Пусть { х_n} — бесконечно большая последовательность. Возьмем любое как угодно малое положительное число ε > 0 и положим

Согласно определению для этого существует такой номер N , что при n > N будет | x_n | > A. Отсюда получаем, что

для всех n > N. А это значит, что последовательность

бесконечно малая.

8. Теорема о предельном переходе в двухчленных неравенствах.

Теорема Пусть   - сходящаяся последовательность и  . Тогда  .

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Обозначим  . Тогда утверждение, противоположное доказываемому, имеет вид:

.

Возьмем . Тогда, по определению, предела последовательности, можно написать

.

Последнее неравенство распишем в виде двойного

Но так как  , то   и получается что  , что противоречит условию теоремы.

Следствие. Если   и   сходящиеся последовательности и  , то

.

Доказательство дается следующей цепочкой следствий

 =>   =>   => 

=> 

Важное замечание. Допустим, что в условии теоремы вместо   мы написали . Можно ли утверждать, что  ?

Ответ отрицательный. Действительно, пусть, например,  . Тогда  , но  .

Таким образом, итог этой теоремы и замечание выглядит так: в неравенствах допустим предельный переход, надо только иметь ввиду, что после предельного перехода строгое неравенство (типа > или <) может замениться на нестрогое

(> перейдет в  , < перейдет в  ).

9. Теорема о пределе промежуточной последовательности

Если, начиная с некоторого номера, выполнено x_n≤ y_n≤ z_n и  ,  , то и  .  Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как , то

Так как  , то

Выберем N = max{N₁, N₂}, тогда при n > N в силу неравенств x₀ - ε < x_n < x₀ + ε и x₀ - ε < z_n < x₀ + ε будут выполнены неравенства x₀ - ε < x_n ≤ y_n ≤ z_n < x₀ + ε, что означает

10. Теорема о стягивающихся отрезках

Определение. Последовательность вложенных отрезков   называется последовательностью стягивающихся отрезков, если     :    .

Теорема.

Если   - последовательность стягивающихся отрезков, то  ! точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

Доказательство теоремы.

,  .

Множество   ограничено сверху 

Множество   ограничено снизу 

,  ;  ;  .

Покажем, что  .

Предположим, что  . Тогда   чего быть не может.

Предположим, что  . Тогда  . Положим 

    .

:      . (*)

Значит,