- •Арифметические действия с комплексными числами. Тригонометрическая форма комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа.
- •Понятие точной верхней (нижней) грани, ограниченного сверху (снизу) множества чисел. Теорема об их существовании (без доказательства).
- •Предел числовой последовательности. Теоремы о единственности предела и ограниченности сходящейся последовательности.
- •Теорема о пределе суммы двух сходящихся последовательностей. Теорема о пределе модулей членов сходящейся последовательности.
- •Теорема о пределе произведения двух сходящихся последовательностей.
- •Теорема о пределе частного двух сходящихся последовательностей.
- •Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Теорема об их связи.
- •Теорема о предельном переходе в двухчленных неравенствах.
- •Теорема о пределе промежуточной последовательности
- •Теорема о стягивающихся отрезках
- •Теорема о пределе ограниченной и монотонной последовательности
- •Число «е» как предел последовательности
- •Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
- •Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
- •Критерий Коши существования предела функции в точке (без док-ва)
- •Доказать. (Первый замечательный предел)
- •Доказать (Второй замечательный предел)
- •Непрерывность функции в точке и на множестве. Арифметические операции с непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции.
- •Непрерывность функции в точке слева и справа. Классификация точек разрыва функции.
- •Необходимое и достаточное условие непрерывности монотонной функции. Достаточное условие существования обратной функции. (все без док-ва)
- •Теоремы о нулях и промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции (Теорема Больцано-Коши).
- •Теорема об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.( Первая теорема Вейершстрасса)
- •Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней. (вторая теорема Вейерштрасса)
- •Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
- •Понятие производной. Односторонние и бесконечные производные. Непрерывность функции, имеющей производную. Производная сложной функции.
- •Производная суммы, произведения и частного двух функций.
- •Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически.
- •Производные высших порядков. Формула Лейбница.
- •31. Понятие дифференцируемости функции и первого дифференциала. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Геометрический смысл производной и дифференциала. Касательная и нормаль к графику.
- •Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков, неинвариантность их формы в общем случае.
- •Экстремумы функции. Необходимые условия экстремума (теорема Ферма). Точки экстремума
- •Необходимое условие экстремума
- •Теорема Лагранжа о конечных приращениях. Различные формы записи формулы Лагранжа.
- •Теорема Коши о конечных приращениях (б/д).
- •Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0/0. Раскрытие неопределенностей других видов (б/д).
- •Достаточное условие экстремума функции: исследование на экстремум по знаку высших производных.
- •Выпуклость графика функции. Условия выпуклости.
- •Точки перегиба графика функции. Достаточные условия точки перегиба.
Теорема о пределе суммы двух сходящихся последовательностей. Теорема о пределе модулей членов сходящейся последовательности.
1)Теорема (о пределе суммы двух сходящихся последовательностей): Сумма сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {xn} и {yn}. Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn} сходятся к пределам а и b соответственно. Тогда в силу того что xn=a+an будут справедливы соотношения xn=a+an,yn=b+bn, (6), в которых anи bn представляют собой элементы некоторых бесконечно малых последовательностей {an}и {bn}. Из (6) вытекает, что(xn+yn)−(a−b)=an+bn . (7) Т.к. сумма {an+bn} двух бесконечно малых последовательностей {an} и {bn} представляет собой бесконечно малую последовательность, то из соотношения (7) вытекает в силу определения, что последовательность {xn+yn} сходится и вещественное число a+b является ее пределом. Теорема доказана.
2) Теорема (о пределе модулей членов сходящейся последовательности):
Теорема о пределе произведения двух сходящихся последовательностей.
1)Теорема (о пределе произведения двух сходящихся последовательностей): Произведение сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {xn} и {yn}. Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn}сходятся к пределам a и bсоответственно. Тогда для элементов этих последовательностей справедливы (6), перемножая которые, мы получим xn·yn=a·b+abn+ban+an·bn или, xnyn−a·b=abn+ban+an·bn (8)
Теорема о пределе частного двух сходящихся последовательностей.
1) Теорема (о пределе произведения двух сходящихся последовательностей): Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}. Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn} сходятся к пределам a и bсоответственно. В силу леммы 1 найдется номер N такой, что при n>N элементы yn нe обращаются в нуль, определена последовательность {1yn} и эта последовательность является ограниченной. Начиная с номера N, мы и будем рассматривать частное {ynxn} . В силу определения достаточно доказать, что последовательность {ynxn−ba} является бесконечно малой. Будем исходить из тождества ynxn−ba=yn·bxn·b−yn·a (9) Т.к. для элементов xn и yn справедливы (6), то
n·b−yn·a=(a+an)·bn−(b+bn)·an=anb−bna
Подставляя (10) в (9), получим ynxn−ba=1yn(an−babn) (11) Остается доказать, что в правой части (11) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу вытекает из того, что последовательность {1yn} (в силу леммы 1) является ограниченной, а последовательность {an−babn} (как разность двух бесконечно малых) является бесконечно малой последовательностью. Теорема доказана.