1. Арифметические действия с комплексными числами. Тригонометрическая форма комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа.

ОПР. Комплексным числом z называют пару вещественных чисел : . Число a –называют вещественной , а b - мнимой часть комплексного числа z . Если мнимая часть равна нулю, то комплексное число называют вещественным или действительным. Его отождествляют с вещественным числом . Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, то число называют чисто мнимым.

ОПР. Операция сложения двух комплексных чисел и определена так : , т.е. складываются вещественные и мнимые части комплексного числа.

ОПР. Операция умножения двух комплексных чисел и определена так:

.

ОПР. Операция деления двух комплексных чисел

и определена так:

.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА комплексного числа.

Если , то и .

Тогда комплексное число можно представить в форме:

которая называется тригонометрической формой комплексного числа .Проследим за умножением комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:

.

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. В частности,

.

Любое комплексное число (кроме нуля)   можно записать в тригонометрической форме: , где   – это модуль комплексного числа, а   – аргумент комплексного числа. Не разбегаемся, всё проще, чем кажется.

КОРЕНЬ степени n из комплексного числа.

ОПР. Комплексное число называется корнем степени n из комплексного числа , если .

ТЕОРЕМА. Существует ровно n значений корня степени n из комплексного числа .

Все они имеют одинаковый модуль, равный , и аргументы ,вычисляемые по формуле: ,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

, ,

2. Понятие точной верхней (нижней) грани, ограниченного сверху (снизу) множества чисел. Теорема об их существовании (без доказательства).

П.1 Понятия и

ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным сверху, если найдется число М, для которого .

ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным снизу, если найдется число m, для которого .

ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным , если найдутся числа m и М, для которых .

Наименьшее из чисел М, ограничивающих сверху множество Х, называют точной верхней гранью этого множества. Аналогично, наибольшее из чисел m , ограничивающих множество Х снизу, называют точной нижней гранью множества Х. Точнее об этом в

ОПР. Число называют точной верхней гранью множества Х, , если выполнены два условия :

1) , 2) .

ОПР. Число называют точной нижней гранью множества Х, , если выполнены два условия

1) ,2) .

Точные верхняя и нижняя грани множества Х могут не принадлежать множеству Х.

Теорема.   ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.

3. Предел числовой последовательности. Теоремы о единственности предела и ограниченности сходящейся последовательности.

Число A называется пределом x_n, если

 > 0  N:  n > N |x_n-A |< 

Заметим, что здесь использованы логические символы: квантор всеобщности (вместо слова "для любого") и квантор существования  (вместо слова "найдется").

Предел числовой последовательности обозначается lim_n x_n = A или x_n A при n. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае расходящейся.

  1) Теорема (о единственности придела): Если последовательность сходится, то она имеет только один предел.  Доказательство. Предположим противное, т.е. что сходящаяся последовательность {x_n} имеет два предела a ≠ b. Тогда

.

Так как числовая последовательность имеет второй предел, то

.

Пусть N = max{N₁, N₂ }, тогда при всех n > N имеем

.

И, поскольку ε является как угодно малым положительным числом, как единственно возможное, имеем

a = b.

2) Теорема (об ограниченности сходящейся последовательности) : Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Доказательство. Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и a ее предел. Фиксируем некоторое положительное число ε и по нему номер N такой, что ∣xn−a∣<ε  при n≥N  или, a−ε<xn<a+ε при n≥N . Обозначим через A наибольшее из следующих (N+1) чисел: ∣a−ε∣,∣a+ε∣,∣ ∣  x1∣ ∣  ,∣ ∣  x2∣ ∣  ,...,∣ ∣  хN−1∣ ∣   . Тогда, очевидно, ∣xn∣≤A  для всех номеров n, а это и доказывает ограниченность последовательности{xn}. Теорема доказана.