3. Определения математической статистики. Типичные задачи матстатистики и их особенности.

Математическая статистика – научная дисциплина, изучающая математические методы сбора систематизации анализа и интерпретирования статистических данных. Под статистическими данными будем понимать результаты множества наблюдений, испытаний.

Целью математической статистики является разработка методов обработки статистических данных позволяющих сформулировать более точные вероятные утверждения с наибольшей или заданной точностью. Задача мат.статистики состоит в выборе и конкретизации некоторого вероятностного утверждения о независимой сущности изучаемого объекта или явления на основе статистических данных. Общими для всех задач мат.статистики являются следующие обстоятельства: - Распределение вероятностей результатов наблюдений неизвестно. – По результатам наблюдений необходимо конкретное решение.

4 . Выборочный метод. Генеральная совокупность и выборка. Репрезентативная выборка

По одному из популярных определений, статистика — это наука, позволяющая распространять выводы, сделанные на основе изучения части совокупности (случайной выборки), на всю совокупность (генеральную совокупность). В этом определении заключена сущность выборочного метода и его ведущая роль в статистике.

Часть совокупности, случайным образом отобранная из генеральной совокупности, — выборочная совокупность — выборка.

Все единицы совокупности, обладающие интересующими исследователя признаками, составляют генеральную совокупность независимых наблюдений { } случайной величины ξ. Генеральная совокупность имеет распределение, идентичное какому-либо теоретическому распределению

Из генеральной совокупности извлекается выборка { } объема n случайной величины .

Выборки условно разделяют на большие или репрезентативные – при n>60, и малые – при n<60.

Понятие репрезентативная выборка не всегда однозначно связано с ее объемом n. Чаще оно зависит от реально исследуемого объекта или явления, объема генеральной совокупности, трудоемкости и стоимости получения наблюдений или измерений для формирования выборки.

Выборке { } отвечает некоторое, так называемое выборочное распределение

5. Выборочное и теоретическое распределение. Теорема Гливенко. Ее практическая ценность

Будем считать ,что выборке отвечает некоторое ,так называемое выборочное распределение .

Это извлечение имеет случайный характер и любое суждение о генеральной совокупности по её выборке размера n также является случайным.

Поэтому возникает задача о статистической близости выборочного распределения к теоретическому распределению .Решение этой задачи даёт известная

Теорема Гливенко: Выборочное распределение случайной величины равномерно сходится к теоретическому распределению случайной величины с вероятностью 1:

P

Таким образом ,при достаточно большом объёме выборки n выборочная функция распределения

хорошо приближает функцию распределения генеральной совокупности и применение выборочной функции распределения в практике статистических исследований корректно

6. Теоремы Хинчина и Линдеберга, их интерпретация. Понятие асимптотической нормальности.

Теореме Хинчина. Если – выборка из распределения с конечным математическим ожиданием μ , то выборочное среднее сходится к μ по вероятности. Это значит, что при больших выборках существенное отклонение выборочного среднего от μ маловероятно.

Асимптотическая нормальность - оценка, распределение которой стремится к нормальному при увеличении размера выборки.

Пусть – выборка из распределения. Точная оценка Õ называется асимптотически нормальной с дисперсией , если по распределению при n→ ∞. Z – нормальная случайная

величина.