1. Случайная величина. Функция распределения в дискретном и непрерывном случае, ее связь с функцией плотности вероятности и ее свойства.

Действительная функция ξ = ξ(ω), определенная в борелевском поле вероятностей {Ω,F,P} является случайной величиной. Случайная величина

ξ и случайное событие А могут быть связаны соотношением

означающим попадание случайной величины в ξ ∈ . Далее будем

решать события, оперирующие с конечными, дискретными или непрерывными

случайными величинами ξ , для каждых(k-x) достоверно событие

{−∞ < ξ < +∞} (1.15)

Случайная величина ξ является дискретной , если события {ξ = }, k = 1, 2, ... образуют в достоверное событие так, что для вероятностей (x)= P{ξ = x},

имеем :

∇ Случайная величина ξ := непрерывной ,если для любых ≤

вероятность P{ ≤ ξ ≤ } , где плотность вероятности

является матрица тельной интегрируемой функцией , причем :

Подчеркиваем, что для случайной величины ξ ∈ вероятность

Функция распределения и ее свойства

P/м дискретную случайную величину ξ ,принимающую одно из значений

с вероятностью ≠ 0 или ≠ 1. Пусть в опыте ξ примет

некоторые из значений , т.е произойдет событие ,представленное на-

бором

Тогда совокупность вероятностей можно трактовать как распределение суммарной вероятности = 1 между отдельными значениями случайной величины ξ.

Вероятность того, что случайная величина ξ примет значение меньшее

произвольного действительного числа x , функцией распределения

случайной величины ξ и обозначается:

= P {ξ < x}; −∞ < x < +∞

Для дискретной случайной величины ξ функция распределения имеет

"ступенчатый"характер:

Для непрерывной случайной величины ξ, при существовании плотности

= = и в каждой своей

точке непрерывности функция совпадает с производной

Свойства:

Функция распределения имеет следующие свойства:

1.Является монотонно неубывающей , непрерывной слева функцией

2. Нормально распределенная случайная величина. Как изменяется кривая плотности нормального распределения при изменении его параметров? Что такое стандартное нормальное распределение?

Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение , если ее плотность распределения имеет вид:

Параметр математическое ожидание. (среднее значение случайной величины, указывает координату максимума кривой плотности распределения)

Параметр дисперсия, стандартное отклонение.

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Обозначается

Стандартная нормальная величина :

Где

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Стандартные плотность и функция распределения:

рис(1) рис(2)

(нормальное распределение) (стандартное нормальное распределение)

При изменении мат.ожидания кривая перемещается относительно оси Ox, сохраняя форму.

При изменении стандартного отклонения изменяется форма кривой: утолщаются хвосты, колокол становится ниже.

верхняя процентная точка (процентиль) нормального распределения.