Вероятностные автоматы

Вероятностный автомат является примером дискретно-стохастической функциональной модели исследуемой системы. Сущность дискре­тизации времени при этом подходе остается аналогичной рассмот­ренным ранее конечным автоматам, но появляется возможность учета влияния случайных факторов на развитие моделируемых процессов.

В общем виде вероятностный автомат (англ. probabilistic automat) можно определить как дискретный потактный преобразо­ватель информации с памятью, функционирование которого в каж­дом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически [10].

Применение схем вероятностных автоматов имеет важное значение для моделирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное поведение, для выяснения алгоритмических возможностей таких систем и обоснования границ целесообразности их использования.

Введем математическое определение вероятностного автомата, используя понятия, принятые ранее для определения конечного автомата. Рассмотрим множество G, элементами которого являются всевозможные пары (x_i, z_k), где x_i и z_k - эле­менты входного подмножества Х и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции  и , что с их помощью осуществляются отображения GZ и GY, то гово­рят, что F=<Z, X, Y,  , z₀ > определяет автомат детерминирован­ного типа.

Введем в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть Ф - множество всевозможных пар вида (z_k, y_i), где y_i - эле­мент выходного подмножества Y. Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон рас­пределения следующего вида:

Элементы из Ф:	(z1, y1)	…	(zk, yj)	…	(zK, yJ);
Элемент (xi,zs) из G:	b11	…	bkj	…	bKJ.

При этом где b_kj - вероятности перехода автомата в состояние z_k и появления на выходе сигнала y_j, если автомат был в состоянии z_s и на его вход в этот момент времени поступил сиг­нал x_i. Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов P=<Z, X, Y, В> назы­вается вероятностным автоматом.

Пусть элементы множества G индуцируют некоторые законы распределения на подмножествах Y и Z, что можно представить соответственно в следующем виде

Элементы из Y:	y1	…	yi	…	yJ	;
Элемент (xi,zs) из G:	q1	…	qj	…	qJ	;
Элементы из Z:	z1	…	zk	…	zK	;
Элемент (xi,zs) из G:	s1	…	sk	…	sK	.

При этом и , где s_k и q_j - вероятности перехода автомата в состояние z_k и появления выходного сигнала y_k при условии, что автомат находился в состоянии z_s и на его вход поступил входной сигнал x_i.

Если для всех k и j имеет место соотношение , то такой автомат называется вероятностным автоматом Мили. Это требование означает выполнение условия независимости распределений для нового состояния вероятностного автомата и его выходного сиг­нала.

Пусть теперь определение выходного сигнала вероятностного автомата зави­сит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данном такте работы. Другими словами, пусть каждый элемент выходного подмножества Y индуцирует распределение вероятностей выходов, имеющее следующий вид:

Элементы из Y:	y1	…	yk	…	yK;
Элемент zk из Z:	q1	…	qi	…	qI .

Здесь , где q_i - вероятность появления выходного сигнала y_i при условии, что автомат находился в состоянии z_k.

Если для всех k и i имеет место соотношение q_ks_i=b_ki, то такой автомат называется вероятностным автоматом Мура. Понятие вероятностных автоматов Мили и Мура введено по аналогии с детер­минированным конечным автоматом, задаваемым F=<Z, X, Y,  , z₀ >.

Част­ным случаем вероятностного автомата, задаваемого как P=<Z, X, Y, В>, явля­ются автоматы, у которых либо переход в новое состояние, либо выходной сигнал определяются детерминированно. Если выходной сигнал автомата определяется детерминированно, то такой авто­мат называется Y-детерминированным вероятност­ным автоматом. Аналогично Z-детерминированным вероятностным автоматом называется автомат, у ко­торого выбор нового состояния является детерминированным.

Пример 5.4. Рассмотрим Y-детерминированный вероятностный автомат, который задан таблицей переходов (табл. 5.6) и таблицей выходов (табл.5.7).

В этих таблицах p_ij - вероятность перехода автомата из состояния z_i в состояние z_j. При этом, как и ранее, .

Таблица 5.6. Таблица переходов Y-детерминированного автомата

			zk
zk	z1	z2	…	zK-1	zK
z1	p11	p12	…	p1(K-1)	p1K
z2	p21	p22	…	p2(K-1)	p2K
…	…	…	…	…	…
z2	pK1	pK2	…	pK(K-1)	pKK

Таблица 5.7. Таблица выходов Y-детерминированного автомата

Элементы из Z:	z1	…	zk	…	zK;
Элементы из Y:	yi1	…	yik	…	yiK.

Первую из этих таблиц можно представить в виде квадратной матрицы размерностью , которую будем называть матрицей переходных вероятно­стей или просто матрицей переходов вероятностного автомата. В общем случае такая мат­рица переходов имеет вид

.

Для описания Y-детерминированного автомата необходимо задать на­чальное распределение вероятностей следующего вида:

Элементы из Z:	z1	…	zk	…	zK .
Элементы из D:	d1	…	dk	…	dK .

Здесь d_k - вероятность того, что в начале работы автомат находится в состоянии z_k. При этом .

Будем считать, что до начала работы (до нулевого такта времени) ав­томат всегда находится в состоянии z₀ и в нулевой такт времени меняет состоя­ние в соответствии с распределением D. Дальнейшая смена состояний автомата определяется матрицей переходов P_p. Информацию о начальном состоянии вероятностного автомата удобно внести в матрицу P_p, увеличив ее размерность до (K+1)(K+1). При этом первая строка такой матрицы, сопоставляемая состоя­нию z₀, будет иметь вид (0, d₁, d₂ ,..., d_k), а первый столбец будет нулевым.

Описанный Y-детерминированный автомат можно задать в виде ориенти­рованного графа, вершины которого сопоставляются состояниям автомата, а ду­ги — возможным переходам из одного состояния в другое. Дуги имеют веса, соответствующие вероятностям перехода p_ij, а около вершин графа пишутся значения выходных сигналов, индуцируемых этими состояниями.

Очевидно, что с точки зрения математического аппарата зада­ние Y-детерминированного автомата эквивалентно заданию не­которой дискретной марковской цепи с конечным множеством со­стояний. Поэтому аппарат марковских цепей является основ­ным для аналитических расчетов.

Пример 5.5. Пусть задан Y-детерминированный вероятностный автомат

На рис. 5.3 показан граф переходов этого автомата. Требуется оценить суммарные финальные вероятности пребывания этого автомата в состояниях z₂ и z₃.

При использовании аналитического подхода можно записать известные соот­ношения из теории марковских цепей и получить систему уравнений для опреде­ления финальных вероятностей. При этом начальное состояние z₀ можно не учитывать, так как начальное распределение не оказывает влияния на значения фи­нальных вероятностей.

Тогда имеем

, где c_k — финальная вероятность пребывания автомата в состоянии z_k. Получаем систему уравнений

Добавим к этим уравнениям условие нормировки с₁₊ с₂₊ с_{3+ +}с₄=1. Тогда, решая систему уравнений, получим с₁=5/23, с₂=8/23, с₃=5/23, с₄=5/23.

Таким образом, с₂₊ с₃=13/23=0,5652. Другими сло­вами, при бесконечной работе заданного в этом примере Y-детерминированного автомата на его выходе формируется двоичная последова­тельность с вероятностью появления единицы, равной 0,5652.

Подобные автоматы могут ис­пользоваться как генераторы марков­ских последовательностей, которые не­обходимы при моделировании процессов функционирования сис­тем или воздействий внешней сре­ды.

Для оценки различных характерис­тик исследуемых систем, представляе­мых в виде конечных и вероятностных автоматов, кроме рассмотрен­ного случая аналитических моделей можно применять и имита­ционные модели, реализуемые, например, методом статистического моделирования.