Основные определения

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть представлены в следующем общем виде:

Или в векторной форме:

Решением системы является совокупность функций которые удовлетворяют исходным уравнениям. Решение можно записать также в векторной форме Система уравнений

представляет собой параметрические уравнения кривой в n-мерном пространстве вещественных осей . Эту кривую называют фазовой траекторией системы дифференциальных уравнений. В случае =1,2,3 траектория дает наглядное представление о поведении соответствующего ей решения ( рис. 3.2).

Рис.3.2.Решения и фазовая траектория системы ОДУ второго порядка

Множество всех фазовых траекторий системы образует в фазовый портрет системы уравнений. При этом пространство называют фазовым пространством системы. Таким образом, фазовое пространство изображает совокупность всех возможных состояний рассматриваемой динамической системы. Каждому новому состоянию системы соответствуют различные точки фазового пространства.

Решение системы дифференциальных уравнений определяет собой эволюцию исследуемой динамической системы во времени. Эта эволюция изображается движением фазовой точки по соответствующей траектории. Состояние системы в момент t зависит не только от момента времени, но и от исходного состояния, в котором находилась система в момент времени . Последнее соотношение называется начальным условием для решения системы.

Возможны траектории, состоящие всего лишь из одной точки: это точки покоя или стационарные точки. Точки покоя характеризуются тем, что производные переменных по времени в этих точках равны нулю. Для того чтобы точка была точкой покоя, необходимо и достаточно, чтобы соблюдалось условие .

Если траектория дважды проходит через одну и ту же точку, то это замкнутая траектория, называемая циклом, а соответствующее ей решение будет периодическим.

Таким образом, имеется три типа траекторий : незамкнутые, замкнутые (циклы) и точки покоя. Каждая точка фазового пространства принадлежит ровно одной траектории. Следовательно, если две фазовые траектории имеют одну общую точку , то они совпадают.

Отметим далее, что системы вида относятся к так называемым автономным или стационарным дифференциальным системам , т.е. системам обыкновенных дифференциальных уравнений , правые части которых не зависят от времени. Это название оправдано тем, что производные вектора переменных определяются только самим же вектором переменных и , таким образом, решение само управляет своим изменением. Если же хотя бы в одном из уравнений , входящих в систему, правая часть зависит явно от времени , то такая система уже называется неавтономной или нестационарной.

Построение фазовых портретов

Вернемся к модели механической системы, приведенной в примере 3.1. Уравнение нелинейной модели имеет вид

.

От уравнения второго порядка можно перейти к автономной системе вида

,

Если теперь в системе исключить время t, то получим дифференциальное уравнение траекторий системы на фазовой плоскости

Последнее уравнение можно переписать так:

Тогда, полагая, что при ,а , после интегрирования уравнения в пределах от до получаем равенство

,

которое можно переписать так:

Заметим, что есть формула кинетической энергии динамической системы, а

- формула ее потенциальной энергии. Таким образом, уравнение выражает закон сохранения энергии:

где - полная энергия системы.

Ясно, что последнее уравнение - это уравнение фазовых траекторий нелинейной консервативной системы, поскольку оно получено в результате интегрирования уравнения

Таким образом, различным значениям Е на фазовой плоскости соответствуют различные кривые постоянной энергии. Стационарными точками системы являются точки M^*(x^*,0), где x^*- корни уравнения . В таком случае, если переписать уравнение закона сохранения энергии в виде

,

то можно легко построить фазовые траектории.

Проведенные рассуждения общего характера дают возможность исследовать уравнение движения маятника в среде без сопротивления, которое имеет вид

, где - положительная постоянная.

Поскольку уравнение является частным случаем уравнения , то его можно интерпретировать и как уравнение, описывающее прямолинейное движение без трения тела единичной массы под действием нелинейной пружины, где восстанавливающая сила равна . В этом случае автономная система, соответствующая уравнению, запишется в виде

Особыми точками здесь будут а дифференциальное уравнение фазовых траекторий системы примет вид

Разделяя переменные в последнем уравнении и интегрируя, получим уравнение фазовых траекторий

Последнее уравнение есть частный случай уравнения закона сохранения энергии, где , а потенциальная энергия задается соотношением

.

Определив значения , мы можем схематически набросать картину поведения траекторий на фазовой плоскости, если воспользоваться соотношением .

Полученный фазовый портрет показывает (рис. 3.3), что если энергия изменяется от до , то соответствующие фазовые траектории оказываются замкнутыми и уравнение имеет периодические решения. С другой стороны, если , то соответствующие фазовые траектории не являются замкнутыми и уравнение периодических решений не имеет. Значению же на фазовой плоскости соответствует фазовая траектория, которая разделяет два различных типа движений, такую траекторию называют сепаратрисой. Волнистые фазовые траектории, расположенные вне сепаратрис, соответствуют вращательным движениям маятника, а замкнутые траектории, расположенные в областях, ограниченных сепаратрисами,- его колебательным движениям.

Рис. 3.3. Фазовый портрет нелинейной консервативной системы

На рис.3.3 видно, что в окрестности неподвижных точек , где поведение фазовых траекторий отличается от поведения фазовых траекторий в окрестности неподвижных точек , где

Посмотрим теперь, какое влияние оказывает на поведение фазовых траекторий консервативной системы линейное трение. В этом случае уравнение принимает вид

Т

Рис. 3.4.Фазовые портреты консервативных систем с трением

акая система будет уже неконсервативной. Если трение в ней достаточно мало, т.е. возможны колебания маятника относительно положения равновесия, то можно показать, что фазовые траектории таковы, как это схематически показано на рис.3.4,a. Если трение не допускает никаких колебаний маятника относительно положения равновесия, то картина фазовых траекторий будет иметь вид, показанный на рис. 3.4,b.

Если теперь сравнить фазовый портрет консервативной системы с последними двумя фазовыми портретами неконсервативных систем, то можно заметить, что замкнутые фазовые траектории при слабом трении перешли в спирали, а при сильном трении - в траектории, которые входят в особые точки в определенных направлениях.

Рис. 3.4.Фазовые портреты систем с трением:

a – малое трение; b – большое трение