Часть III.
Вам предлагаются 5 заданий. На каждое из заданий Вы можете дать ответ в виде положительного или отрицательного числа заполнив соответствующую номеру вопроса строчку в бланке ответов. В каждой клетке строки может располагаться только один символ: цифра, знак « - »отрицательного числа, или знак « . » разделителя десятичной дроби. Вы можете дать ответ не «Не знаю», оставив все пять соответствующих вопросу клеток пустыми.
Задание
1. Даны
три вершины
параллелограмма
:
,
.
Найти координаты четвертой вершины и записать в ответ сумму её координат.
Решение.
Геометрические векторы складываются
по правилу параллелограмма, поэтому,
если сложить векторы
и
,
совпадающие со
сторонами параллелограмма, то суммой
этих векторов будет вектор
,
совпадающий с диагональю параллелограмма
Найдем координаты векторов и :
Поэтому
.
Теперь, зная
координаты вектора
и координаты точки
можно найти координаты точки
,
прибавив к координатам точки
соответствующие координаты вектора
.
Получаем
Поэтому
Ответ: 19.
Задание 2. Найти длину средней линии трапеции , если известны координаты её вершин:
Решение. Найдем вначале длины оснований трапеции .
.
Длина средней
линии
равна полусумме длин оснований. Поэтому
получаем
.
Ответ: 6.
Задание 3. Найти матрицу, обратную матрице
и записать в ответ сумму всех её элементов.
Решение.
Для нахождения
воспользуемся формулой
где
союзная
матрица
.
Найдя матрицу обратную к матрице целесообразно сделать проверку, используя определение обратной матрицы:
Сумма всех элементов обратной матрицы будет
.
Ответ: -3.
Задание 4. Решить систему:
и записать в ответ
сумму
Решение. Для решения системы линейных алгебраических уравнений составим расширенную матрицу и приведем её к квазитреугольному виду с помощью метода Гаусса.
Из преобразованной системы найдем решение исходной системы.
Третье уравнение
это тождество
.
Второе уравнение
будет
Первое уравнение
будет
Правильность
полученного решения
можно проверить подстановкой его в
исходное уравнение.
Окончательно
имеем
Ответ: 1.5.
Задание
5. Найти
значение
при котором векторы линейно
зависимы:
Решение. Составим определитель из координат заданных векторов, считая каждый вектор строкой определителя. Для того чтобы векторы и были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из соответствующих координат этих векторов был равен нулю.
Получаем
.
Ответ: -5.
Раздел второй
В этом разделе содержатся примерные тестовые задания, предлагаемые на экзамене по математике студентам первого курса заочного отделения. В конце теста приведены ответы на эти задания.