2.3. Обчислення довжини дуги у полярній системі координат

Нехай у полярній системі координат задано рівняння лінії

, (2.4)

де – полярний радіус, – полярний кут, . Запишемо формули переходу від полярних до декартових координат , або, враховуючи, що :

, . (2.5)

Ці рівняння можна розглядати як параметричне (відносно ) рівняння лінії, для обчислення її довжини використаємо формулу (2.3) з врахуванням того,що:

,

.

Отже,

= .

Таким чином, довжина дуги лінії , обмеженої променями , , обчислюється згідно з формулою

. (2.6)

Приклад 2.3. Обчислити довжину першого витка спіралі Архімеда , .

 Скористаємось формулою (2.6), враховуючи, що та використаємо формулу (3.7) розділу 6.

.

3. Обчислення об’єму тіла

3.1. Обчислення об’єму тіла за відомими поперечними перерізами

Нехай дано деяке тіло і відома площа довільного перерізу цього тіла площиною, перпендикулярною до осі (рис 8); вона є неперервною функцією від : .

Рис.8. Тіло та його поперечні перерізи

Проектуючи тіло на вісь , отримаємо відрізок . Розіб’ємо його на велику кількість малих частин ( ) і через точки поділу проведемо площини, перпендикулярні до осі . В результаті тіло складатиметься з шарів, кожен з яких наближено можна вважати циліндром.

Оскільки об’єм -го шару наближено дорівнює , де , то, сумуючи об’єми всіх шарів, матимемо об'єм ступінчастого тіла

.

Якщо , причому , то об'єм прямує до об'єму тіла і

. (3.1)

Приклад 3.1. Обчислити об’єм еліпсоїда .

 Перетинаючи еліпсоїд площиною, паралельною до площини і розміщеною на відстані від неї, отримаємо еліпс ; або

.

Його півосі , . Площа цього еліпса (див. приклад 1.3) пропорційна добутку півосей: . Обчислимо об’єм еліпсоїда згідно з формулою (3.1):

.

Зокрема, якщо , то еліпсоїд перетворюється в кулю, об’єм якої .

3.2. Обчислення об’єму тіла обертання

Знайдемо об’єм тіла, отриманого обертанням навколо осі криволінійної трапеції, обмеженої неперервною лінією ( ), відрізком осі і двома вертикалями і (рис. 9).

Рис.9. Тіло, отримане обертанням неперервної лінії навколо осі

Ця задача є частковим випадком попередньої, коли поперечним перерізом, що відповідає абсцисі , є круг радіуса з площею .

Отже, згідно з формулою (3.1),

. (3.2)

Якщо тіло утворилось обертанням навколо осі криволінійної трапеції, обмеженої неперервною лінією , ( ), відрізком осі і паралельними прямими і , то його об’єм дорівнює

. (3.3)

Приклад 3.2. Відрізок прямої, що сполучає початок координат з точкою обертається навколо осі . Знайти об’єм конуса, що утворився.

 Запишемо рівняння прямої : та обчислимо об’єм конуса згідно з формулою (3.3): .