1.3. Обчислення площ у полярній системі координат

Нехай у полярній системі координат є крива, задана рівнянням

, (1.7)

де -– неперервна функція при .

Обчислимо площу сектора , обмеженого кривою і променями , (рис.6)

Рис.6

Розіб’ємо сектор на частин променями , , ,…, , . Позначимо через кут між проведеними променями і , а через – довжину радіус-вектора точки, що відповідає деякому куту , такому, що . Розглянемо круговий сектор з радіусом і центральним кутом , його площа дорівнює . Сумуючи ці площі для всіх значень ( ), отримаємо площу ступінчастої фігури

.

Ця сума є інтегральною для функції на відрізку ; її границя при є визначеним інтегралом

. (1.8)

Приклад 1.4. Обчислити площу фігури, обмеженої кардіоїдою .

 Складемо таблицю значень функції для окремих значень аргумента

і по цих точках побудуємо наближено кардіоїду.

Оскільки кардіоїда, очевидно, симетрична відносно полярної осі, то її площа дорівнює подвоєній площі її верхньої половини і обчислюється:

.

2. Обчислення довжини дуги кривої

2.1. Обчислення довжини дуги у декартовій системі координат

Нехай крива на площині задана рівнянням . Знайдемо довжину дуги цієї кривої, обмеженої прямими , (рис.7).

Рис.7. Знаходження довжини дуги

Виберемо на послідовно точки з абсцисами відповідно та проведемо хорди , , …, ,…, , довжини яких позначимо , ,…, ,…, . Одержимо ламану лінію, вписану в дугу ; її довжиною є

. (2.1)

Означення 2.1. Довжиною дуги називають границю, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина її найбільшої частини прямує до нуля, тобто .

(Тут і надалі ми припускаємо, що така границя існує).

Теорема 2.1. Якщо на відрізку функція та її похідна неперервні, то довжина дуги кривої , обмеженої та , обчислюється згідно з формулою

. (2.2)

 Як видно з рис.7, згідно з теоремою Піфагора

.

Згідно з теоремою Лагранжа маємо

, де .

Отже, . За умовою теореми функція неперервна, тому неперервною є і функція , звідки випливає, що існує скінчена границя

.

Приклад 2.1. Обчислити довжину дуги лінії від точки до точки .

 Знайдемо і, підставляючи у (2.2), дістанемо

.

2.2. Обчислення довжини дуги лінії, заданої параметрично

Знайдемо довжину дуги кривої, якщо її рівняння задано параметрично

, , (2.3)

де , – неперервно диференційовні функції, причому не перетворюється в нуль на .

Тоді у формулі (2.2) врахуємо, що , ; і якщо при і при , то

.

Отже,

. (2.3)

Приклад 2.2. Знайти довжину астроїди , , .

 Оскільки астроїда симетрична відносно координатних осей, то достатньо знайти чверть її довжини, що відповідає зміні параметра від до .

Враховуючи, що , , матимемо

.