
- •Степенная функция с иррациональным показателем. Степень в комплексной области.
- •7. Разложение функций sin X и cos X в степенной ряд. Синус и косинус в комплексной области
- •8. Дифференцируемые функции. Правила дифференцирования
- •9. Теорема Лагранжа. Условия монотонности и выпуклости функции на промежутке
- •10. Экстремумы и точки перегиба
- •16. Числовые ряды. Признаки сходимости: Даламбера и Коши.
- •17. Абсолютно и условно сх-ся ряды.
- •18.Функциональные послед-ти и ряды.
- •19. Степенные ряды в комплексной области.
- •20. Формула и ряд Тейлора.
- •21. Метрические пространства. Полные метрич. Пр-тва
- •22. Принцип сжимающих отображений
21. Метрические пространства. Полные метрич. Пр-тва
Опр1. Мн-во М наз-ся метрическим пространством если каждой паре его элементов х и у поставлено в соответствие неотр. число (х,у), удов-щее след. условиям (аксиомам):
(x,y) =0 x = y – акс.тождественности;
(аксиома симметрии): (х,у) = (у,х),
(аксиома треугольника):
(х,у)≤ (x,z) + (z,y) .
Это акс. метрики. Число (х,у), аз-ся расстоянием.
Пример1: мн-во действ. чисел R образует метр. прост-во с (х,у)=|x-y|, (х,у)≥0.
(х,у)=|x-y|=0 x-y=0 x=y
(х,у)=|x-y|=|y-x|=(у,x)
(х,у)=|x-y|=|(x-z)+(z-y)|≤ |=|x-z|+|z-y|=|= (x,z)+ (z,y)
Пример2:
Мн-во
непрерыв. ф-ций опред-х на отрезке [a;b]
образует метр. пр-во С[a;b]
с расстоянием (х,у)=
Акс. 1 и 2 – очевидны. Акс. 3:
Опр2.
Послед-сть
{хп}
точек
метр.пр-ва Х
наз-ся
фундаментальной,
если она удовл-яет критерию Коши, т.е.
для любого
>0
сущ-ет N=N(
)
такое,
что при всех п>N
и
m>N
вып-ся
нер-во
(хп,хm)<
.
Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. Обратное имеет место не всегда.
Опр3. Если метр-е пр-тво Х таково, что в нем всякая послед-ть сх-ся, то это пр-тво наз-ся полным.
Пример3: X=R – есть полное метр. пр-во, т.к. для любого мн-ва действ. чисел справедлив критерий Коши, согласно которому всякая фундамент-ая {}-сть R-чисел яв-ся сходящейся.
Пример4: С[a;b] - яв-ся полным метр. пр-вом.
22. Принцип сжимающих отображений
Опр1. Говорят, что отображение А:М→М имеет неподвижную точку х0, если Ах0= х0.
Опр2. Отображение f метр-го пр-тва Х в себя наз-ся сжимающим, если 0<α<1 такое, что x,yX вып-ся нерав-во (f(х),f(у)) ≤ α(х,y) (1).
Всякое сжимающее отображение является непрерывным. Действ-но,если хп→х, т.е. (хn,n)→0, то (1)=>(f(хn),f(x)))→0 =>f(хn) →f(x)
Т (Банаха)(пр-п сжим. отоб-ний). Всякое сжимающее отображение, опред-ное в полном метр-ом прост-ве Х имеет 1-у и только 1-у неподвижную точку (т.е. f(x)=x им. единст-е реш-е).
Д. Пусть
х0
Х.. Положим
,
,
…,
,….
Получаем посл-ть
точек метр. прост-ва Х. Покажем, что
{}-сть яв-ся фундаментальной. Пусть m≥n
(2).
Т.к. α : 0<α<1=>полученное
выраж-е при достаточно большом n
будет →0=>(хn,
хm)→0
и {}-cть
фундаментальна. По условию, Х- полно=>{xn}
– сх-ся. xn→х,
n→∞
. Т.к.
f-непрерывно, то
=>
.
Т.о. док-но неподвижность точки. Осталось
док-ть ее ед-ть. Пусть
и
.
Т.к. отображение сжимащее=>
=>
=>
(т.к.
)
.
Принцип сжим-х отбр-ий широко исп-ся при док-тве теорем и !, решений различ-ых ур-ний.
Продемонстрируем применение при док-ве след.теоремы:
Если в диф.у-нии.
(3) ф-ция f(x,y)
удовл-ет условиям: 1) f(x,y)
непрерывна в некот. прямоуг-ке Р: х0-а≤х≤
х0+а; у0-b≤y≤
у0+b,
2) f(x,y) удовл-ет условию Липшица по у,
то
единст. решение диф. ур. (3) с начальными
условиями
,
определенное и непрерывное на некот.
сегменте [х0-h; х0+h].
Д-во: Считая у ф-цией от х, проинтегр-ем
обе части (3) от х0 до х. Т.к.
,
то
и
получаем
(4) . Если (4) продиф-ть по х, то получим
(3), при этом из (4) при х=х0 получаем
у=у0.Т.ч.(3) с нач. условиями
и (4)-равносильны.
Т.к. f(x,y)
непрерывна в замкн.области Р, то
постоянная М>0 такая, что |f(x,y)|<M.
Кроме того
,
.
Пусть h
– любая «+»-ная const,
т.ч.
Рассм-м метр. пр-во С непрерыв. ф-ций,
заданных на [х0-h;
х0+h]. Пусть
-подмн-во
прост-ва С, состоящее из всех ф-ций
y=y(x),
для к-ых у0-b≤y≤
у0+b, при всех х
[х0-h;
х0+h]. В С мн-во
замкнуто. Но
-полное
метр. пр-во, как замкнутое подпр-во
полного метр. пр-ва С.
Рассм-м отображение
х
[х0-h;
х0+h]. Оно переводит
в себя. Дейст-во, пусть
.
,
т.е.
.
Отоб-ние А яв-ся сжимающим в
.
Имеем
где α=Lh<1. Итак,
По принципу сжим. отоб-ний ур-ние у=А(у), т.е. (4) имеет 1 и только 1 решение в пр-ве . ЧТД.