18.Функциональные послед-ти и ряды.

] дана ∞-ная посл-ть ф-ций f₁(x),f₂(x),…,f_n(x),… (1) на нек-м мн-ве М.

О₁: Если для конкретного x₀ M получим сх-ся числ-ю {}-сть (f_n(x₀)), то говорят, что функ-ая {}-сть (1) сх-ся в точке x₀ или что x₀ – точка сх-сти {}-сти (1). Если получаем рассх-ся числ-ю {}-сть (f_n(x₀)), то x₀ – точка рассх-сти

О₂: Если конеч-й предел то этот предел яв-ся некот. ф-цией от х, к-рый обозначим ч/з f(x) и назовем пред-ой {}-cти, т.е. .

Предельная ф-ция f(x) определена на мн-ве Р. Ан-но рассм-ся ряды, члены которого некот. ф-ции опред. на мн-ве М.

Ряд вида (2)- наз-ся функц-м.

О₃:Если р. (2) сх-ся при x=x₀ M, то т. x₀ наз-ся т-й сх-ти р.(2). А мн-во всех т-к сх-ти р.(2) н-ся обл-ю сх-ти функ-го р.(2) Если же р. (2) рассх-ся при x=x₀ M, то т. x₀ наз-ся т-й рассх-ти р.(2).

О₄:Если {s_n(x)} – послед-сть частич. сумм р.(2), тогда - пред-я ф-я для {s_n(x)} и в тоже время S(x) - яв-ся суммой р.(2).

Пусть на М заданы f(x) и g(x).

О₅: наз-ся расстоянием поЧебышеву м/у ф-циями f(x) и g(x) на М и обозначается , т.е. =

Пусть на М задана {f_n(x)}, сходящаяся при пред. ф-ции f(x), т.е. .

Возьмем некот. x₀ Р, тогда .

По опред. предела числ. {}-сти имеем , , т.ч. вып-ся нер-во

Если взять другое значение , то при том же ε номер N будет уже другим, т.е.N зависит не только от ε, но и от х.

О₆: Функ-я посл-ть (f_n(x)) н-ся равномерно сх-ся к f (x) на мн-ве Р, если , , т.ч. вып-ся сразу .

Учитывая О_6, можно записать эквив. опред.

О_6.1: Функ-я посл-ть (f_n(x)) н-ся равномерно сх-ся к f (x) на мн-ве Р, если

Пишут .

О₇:Функ-й р.(2) сх-йся к сумме S(x) н-ся равном-но сх-йся на мн-ве Р к S(x), если

Рассм-м , где r_n(x) – остаток. Т.о. функц.р. сх-ся на Р равномерно  когда , .

Получили необх. и дост. признак равномерной сх-сти функц. ряда.

Т₁: (пр-к Вейерштрасса). Если ,каждый член функ-го р.(2) по модулю не превышает соотв-го члена сх-ся числового р.(5) с полож-ми членами ( ), то функ-ый р.(2) на мн-ве Р сх-ся равномерно и абсол-но.(без д-ва)

19. Степенные ряды в комплексной области.

О₁: Ряд вида ,с_n – пост-е, н-ся степенным рядом с комплекс. членами,z₀ – центр ряда.Члены степ-го ряда явл-ся степ-ми ф-ми аналит-ми во всей компл-й плоскости (z).

Подстановкой z-z₀=w ряд прив-ся к виду , т.е. к ряду с центром в т. w =0.

Т₁: (Абеля). Если степ-й р.(1) сх-ся в т. z₀≠0, то он сх-ся абсол-но при всех (в круге с центром в т. О радиуса ).

□По усл. Т. р. сх-ся и по необ-му приз-ку сх-ти . Посл-ть сх-ся и, след-но, огран-на, т.е. такая, что справ-во <M. Оценим теперь общий член р.(1):

(2)

Т.к. , геом-й р. (3) сх-ся, а по пр-ку сравн-я сх-ся р.(1) для всех ■

Сл-е1:Если р.(1) расх-ся в т. z_0, то он расх-ся при всех .

Дейс-но, если бы р.(1) сх-ся в к.- л. т.z при , то по Т. Абеля он сх-ся бы и в т. z₀.

Сл-е2: Для всякого степ.р.(1) , т.ч. внутри круга |z|<R – р. сх-ся, а при |z|>R – р. расх-ся

20. Формула и ряд Тейлора.

] ф-я f(x) в т.х₀ имеет n произ-ых. Выясним, ли мн-н степени не выше n, т.ч. и при этом … (1)

Будем искать этот многочлен в виде (2)

Подставив х=х₀ в (2), находим , т.е. согласно (1).

Продиф-ем (2): (3)

В (3) при х=х₀ , т.е. согласно (1). Диффер-уя еще раз и подставив х=х₀ находим . Диф-уя n-раз, получим .

В итоге имеем

Мн-н удов-ет (1) по построению.

Проверим условие . Пусть Из (1)=> По правилу Лопиталя Значит, . Этим доказана

Т₁: ] ф-ция f(x) определена на (a;b), x₀ (a;b) и f(x) в т. x₀ имеет производные до n-го порядка включ-но=> (4)

(4)-ф-ла Т-ра ф-ции f(x) в т. x₀ с остаточ. членом в форме Пеано.

P_n(x)-мн-н Т-ра, r_n(x)= f(x)-P_n(x) – остат. член ф-лы Т-ра. Если в (4) x=0, то получим: ф-лу Маклорена:

] f(x)- f(x₀)=Δy, x- x₀=Δx=dx. Тогда

Тогда (4) примет вид:

Остат. член ф-лы Т-ра можно записать в различ.форме:

1. - интеграль. форма.

2. 0<θ<1-форма Лагранжа

3. - форма Коши

О₁:] ф-я f(x) определена в некот-й окр-ти т. х₀ и имеет в этой т. произв-ые всех порядков. Тогда (7)-наз-ся рядом Т-ра для ф-ии f(x) в т. х₀. Т. к. сумма степ-го ряда с радиусом сх-сти r>0 внутри интервала сх-сти яв-ся ∞-но диффер-мой ф-цией, то степ-й р. можно разложить только беск-но дифф-ую ф-цию. Однако не всякая ∞-но диф-мая ф-ция разлагается в степ. ряд.

Т₁: Если ф-ция f(x) м/б разложена в степ-й р. в т. х₀, то такое разложение единст-е.

Д-во:] f(x) в т. х₀ разлагается в степ-й р. , r>0. Найдем последовательно и полагаем x=х₀. Получим . Это означает, что искомый ряд есть р.Т-ра ф-ии f(x) в т. х₀ .Коэф-ты ряда опред-ся значениями f(x) и ее производных в т. х₀ однозначно. Значит, разложение в ряд единственно. ■

Т.о. если ф-ция f(x) представима степ. рядом, то этот ряд есть р.Т-ра. Возможны случаи:

1) радиус сх-сти р.Т-ра r>0 и его сумма = f(x), т.е. f(x) разлагается в степ.р.;

2) r>0, но сумма ряда ≠ f(x);

3) r=0. В 2) и 3) f(x) не разлагается в степ.р.

Т₂: Чтобы р.Т-ра ф-ции f(x) сх-ся к f(x) на некот. интервале, необх-мо и дост-но, чтобы остаточный член ф-лы Т-ра для f(x)|→ к 0 при n→∞ при всех x из этого интервала.

Д-во: Запишем ф-лу Т-ра для ф-ции f(x): (8)

Обозначив частич.суммы р.(7) ч/з , ф-лу (8) запишем в виде Видим, что если то т.е. сумма р.(1) = f(x).

Обратно, пусть сумма ряда (7) = f(x). Тогда ЧТД.

Т₂ позволяет решать задачи на разложение ф-ций в р.Тейлора. Это разложение производ-ся примерно по след. плану.

1. найти послед-но производные ф-ции f(x).

2. Вычислить и (n=1,2,…)

3. Формально записать р.Т-ра: ~ .(9)

4. Найти интервал сх-сти этого ряда.

5. Записать остат. член ф-лы Т-ра для f(x).

6. Найти мн-во тех х из интервала сх-сти, для к-рых Для этих х в разложении (3) мы вправе ~ заменить на =, т.е. записать разложение в р.Т-ра.