§ 1.2 Дифференцируемость функции нескольких переменных

1. Частные производные функции n-переменных

Пусть функция u = f (х₁, х₂, …, х_n) определена на множестве {М}  Rⁿ. Рассмотрим точку M₀   внутреннюю точку области определения функции и найдем частное приращение функции по переменной x_i в точке М₀:

 u =   

 .

Приращение x_i выбирается таким образом, чтобы точка

M

принадлежала области определения функции u.

Рассмотрим предел .

Определение 1. Если предел существует и конечен, то он называется частной производной функции по переменной x_i в точке М₀.

Обозначение: .

Так как при нахождении частной производной функции по переменной x_i все координаты точки М₀, за исключением координаты x_i, фиксированы, то функция u = f (х₁, х₂, …, х_n) рассматривается как функция от одной переменной x_i. Следовательно, частные производные функции находятся по тем же правилам, что и производные функции одной переменной.

Пример 1. Найти частные производные функции u = x³ + xy² + xy²z в произвольной точке.

Решение.

Считая y и z постоянными, находим

u´_x  = (x³ + xy² + xy²z) ´_x  = 3x² + y² + y²z.

Затем, полагая х и z постоянными, находим

u´_y = (x³ + xy² + xy³z) ´_y = 2xy + 3xy²z.

Полагая х и у постоянными, находим

u´_z  = (x³ + xy² + xy³z) ´_z  = xy³.

Пример 2. Найти частные производные функции u =  в точке М (0, 2, 1).

Решение.

Найдем частные производные функции u =  в произвольной точке

u´_x =  , u´_xy=  , u´_z =  .

Найдем значение частных производных в точке M(0, 2, 1).

u´_x  (M) = 0, u´_y  (M) =  ,   u´_z  (M) =  .

Замечание. В отличие от функции одной переменной, из существования у функции u = f (х₁, х₂, …, х_n) в данной точке частных производных, не следует непрерывность функции в данной точке.

2. Дифференцируемость функции n-переменных

Рассмотрим функцию u = f (х₁, х₂, …, х_n) определенную на множестве {М} и точку М (х₁, х₂, …, х_n)  {М}.

Определение 2. Функция u = f (х₁, х₂, …, х_n) называется дифференцируемой в точке М, если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

u = A₁x₁ + A₂x₂ + … + A_nx_n + ₁x₁ + … + _nx_n, (1)

где A_i  некоторые постоянные числа, а функции _i  0 при x_i   0 (i = 1, 2, …, n).

Можно доказать, что ₁x₁ + … + _nx_n =  о( ), где . Поэтому формула (1) может быть также записана в виде

u = A₁x₁ + A₂x₂ + … + A_nx_n + о( ). (2)

Главная часть приращения функции u = f (х₁, х₂, …, х_n)  называется дифференциалом функции в точке М и обозначается du, т.е.

du = A₁x₁ + A₂x₂ + … + A_nx_n . (3)

Теорема 1. Если функция u = f (х₁, х₂, …, х_n) дифференцируема в точке М, то в этой точке существуют частные производные функции по всем аргументам.

Доказательство. Рассмотрим частное приращение функции u по аргументу x_i  в точке М

 u =  f (х₁, х₂, …, x_i + x_i, … х_n)  f (х₁, х₂, …, х_n).

Так как функция дифференцируема в точке M, то приращение  u можно найти по формуле (1), где приращения всех аргументов, за исключением приращения , будут равны 0. Следовательно,  u  =  A_ix_i +  _ix_i. Тогда

 =  =  (A_i+  _i) = A_i.

Значит, у дифференцируемой в точке M функции существуют в этой точке частные производные по всем аргументам и  = A_i. 

Замечание 1. Из доказательства теоремы следует, что приращение дифференцируемой в точке M функции можно записать в виде

u =  x₁ +  x₂ + … +  x_n + о( ), (4)

а дифференциал  следующим образом:

du =  x₁ +  x₂ + … +  x_n.

Замечание 2. Дифференциал функции u = f (х₁, х₂, …, х_n) в точке M является функцией, зависящей от приращений x₁, x₂, …, x_n аргументов этой функции.

Учитывая, что dx_i = x_i, получим

du =   dx₁ +  dx₂ + … +  dx_n. (5)

Замечание 3. Частные производные в формулах (4) и (5) находятся в точке М₀.

Пример 1. Найти дифференциал функции

u = sin ( x² +  y² +  z² + )

в точке M₀ (1, 1, 1).