Р ешение.

Область (D) изображена на рисунке 2.6. В данном случае любая прямая, параллельная оси ОУ, пересекает область (D) в двух точках. Следовательно, двойной интеграл по этой области можно найти по формуле (15), где g₁(x) = x²,  g₂(x) = 1.

Замечание. Данный интеграл можно также найти и по формуле (16), так как любая прямая, параллельная оси ОХ, пересекает область (D) в двух точках. В этом случае: Тогда

8. Замена переменных в двойном интеграле

Пусть функция f (x, y) интегрируема в области (D). Рассмотрим две функции, задающие взаимно однозначное отображение области (G) плоскости UOV в область (D) плоскости ХОУ.

где (17)

Пусть функции (17) имеют непрерывные производные в области (G), и якобиан системы (17)

(18)

не равен нулю в области (G). Тогда, по теореме 3, п.3, § 1.6, система (17) однозначно разрешима относительно u и v. Задание пары переменных u и v из области (G) однозначно определяет некоторую точку М (х, у)  (D) плоскости ХОУ. Поэтому u и v называют криволинейными координатами на плоскости. Для двойного интеграла от функции f (x, y) по области (D) справедлива формула замены переменных:

(19)

Примером криволинейных координат на плоскости являются полярные координаты

В этом случае , , . Формула замены переменных (19) в полярных координатах имеет вид

= . (20)

Замечание. Если область (G) (рис. 2.7) ограничена лучами, образующими с полярной осью углы и кривыми   то

. (21)

Если область (G) (рис. 2.8) охватывает начало координат, то

. (22)

Пример 4. Найти двойной интеграл , если область (D) ограничена линиями: y = x, и дугой окружности x² + y² = 8, лежащей в первой четверти.

Решение.

Подставим полярные координаты в уравнения линий, ограничивающих область интегрирования. Тогда уравнение прямой y = x имеет вид или Следовательно, данная прямая в полярных координатах задается уравнением Прямая в полярных координатах задается уравнением Подставляя полярные координаты в уравнение окружности, получим

Таким образом, область (G) ограничена лучами и и графиком функции Тогда, по формуле (21), имеем

9. Применение двойных интегралов

Из пункта 1 §2.1 следует, что объем цилиндрического тела (V), ограниченного сверху графиком непрерывной функции z = f (x, y), с боков  цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ, снизу  плоской фигурой (D) на плоскости XOY (см. рис.1) находится по формуле

. (23)

Если f (x, y)  1 в области (D), то объем прямого цилиндра, построенного на этой области, будет равен площади основания, т.е площади области (D). Следовательно, площадь области (D) находится по формуле

(24)

Рассмотрим некоторую плоскую область (D), в которой распределена масса с поверхностной плотностью . Тогда, масса данного тела находится по формуле

(25)

Координаты центра тяжести тела находятся по формулам

(26)

Пример 5. Найти объем тела ограниченного плоскостями: z = 0, x = 0, y = 0, x + 2y + z = 2.