2. Предел последовательности точек пространства Rn

Рассмотрим последовательность точек пространства Rⁿ. Понятие последовательности точек n-мерного евклидова пространства вводится аналогично понятию последовательности точек числовой прямой (пространства R¹) (определение 1, § 2.1, гл. II, [9]).

Определение 2. Точка A  Rⁿ называется пределом последовательности , если для любого действительного числа   > 0 найдется такое натуральное число K, что для любого элемента последовательности с номером k  K выполняется неравенство

. (2)

Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся. Обозначение: , или  А при k  .

Докажем следующую лемму.

Лемма 1. Рассмотрим последовательность точек евклидова пространства Rⁿ. Пусть - координаты точки , а₁, а₂, …, а_n  координаты точки A. Тогда, для того, чтобы последовательность сходилась к точке A, необходимо и достаточно, чтобы числовые последовательности , составленные из координат точек , сходились соответственно к числам а₁, а₂, …, а_n.

Доказательство.

Необходимость. Пусть , тогда для любого действительного   > 0 найдется такое натуральное число K, что для любого номера k  K выполняется неравенство или

.

Тогда справедливо неравенство

.

Следовательно, для любого  > 0 найдется такое натуральное K, что для любого номера k  K выполняется неравенство  , т.е. последовательность сходится к числу а₁.

Аналогично доказывается сходимость последовательностей , …, к числам а₁, а₂, …, а_n соответственно.

Достаточность. Пусть , i = 1, … , n. Значит, существуют такие числа K_i, что при k  K, где K = max {K₁, K₂,_, …, K_n), выполняются неравенства

, …, .

Получаем,

 

 

Таким образом, доказали, что последовательность сходится к точке A(а₁, а₂, …, а_n). 

Теорема 2 (критерий Коши). Для того, чтобы последовательность точек n-мерного евклидова пространства сходилась, необходимо и достаточно, чтобы для любого   > 0 существовал такой номер K, что для любых k  K и для всех натуральных чисел p выполнялось неравенство

. (3)

Доказательство.

Необходимость. Пусть последовательность сходится, следовательно, сходятся числовые последовательности . Значит, для этих последовательностей выполняется критерий Коши сходимости числовых последовательностей (теорема 3, § 2.4. [9]), т. е. для любого   > 0, существуют такие натуральные числа K₁, K₂,_, …, K_n, что для любого k  K, где K = max {K₁, K₂,_, …, K_n), и для любого натурального p выполняются неравенства: , i = 1, … , n.

Найдем  =  <  = , значит, выполняется неравенство (3). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть выполняется неравенство (3). Тогда, для любого   > 0 существует такое натуральное число K, что для любых номеров k  K и любого натурального p выполняются неравенства

i = 1, … , n. Значит, последовательности  фундаментальные, а, следовательно, сходятся. Тогда и последовательность является сходящейся. 

Последовательность точек пространства Rⁿ, удовлетворяющая критерию Коши, называется фундаментальной.

Замечание. Если последовательность принадлежит замкнутому множеству {M}, то и предел этой последовательности также принадлежит этому множеству. Действительно, в любой окрестности точки А имеются элементы последовательности , т.е. точки множества {M}. Следовательно, точка А является или внутренней, или граничной точкой множества {M}, а, так как данное множество замкнуто, то А принадлежит этому множеству.

Пример 1. Найти предел последовательности , где .