Решение.

Д анное тело является треугольной пирамидой, ограниченной сверху плоскостью x + 2y + z = 2 или z = 2  x  2y, с боков плоскостями x = 0, y = 0, снизу плоскостью z = 0.

Плоскости x = 0, y = 0, z = 2  x  2y пересекаются с плоскостью ХОУ (z = 0) по прямым x = 0, y = 0,  , образующим треугольник АОВ.

Объем тела можно найти по формуле (23), где область (D) есть треугольник АОВ.

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли: .

Решение.

Запишем уравнение кривой в полярных координатах, полагая

Тогда в полярной системе координат уравнение лемнискаты имеет вид или . Решая неравенство , получим пределы изменения переменной :

Фигура, ограниченная лемнискатой Бернулли изображена на рисунке 2.11. В силу симметрии можно вычислить четверть площади данной фигуры, для .

Учитывая формулу (20) перехода к полярным координатам в двойном интеграле, площадь фигуры в полярных координатах имеет вид

. (27)

В нашем случае область интегрирования (G) задается неравенствами

, .

Тогда

Пример 7. Найти массу фигуры (D), ограниченной эллипсом и координатными осями x = 0, y = 0 ( . если плотность данной фигуры , .

Решение.

Уравнение эллипса в этом примере равносильно уравнению . Тогда по формуле (25) массу фигуры (D) находим следующим образом:

Замечание. Массу фигуры (D) можно найти также, перейдя к обобщенным полярным координатам Тогда якобиан перехода имеет вид , подставляя координаты в уравнение эллипса получим: . Значит, , . Формула (25) в обобщенных полярных координатах запишется в виде:

.

§ 2.2. Тройной интеграл

1. Понятие тройного интеграла

Пусть в пространстве R³ задано некоторое кубируемое тело (V). С помощью произвольных поверхностей разобьем его на части (V_i) (i = 1, 2, …, n), таким образом, что и части (V_i) не имеют общих внутренних точек. Обозначим через объем тела (V_i), через d  наибольший из диаметров тел (V_i) данного разбиения.

Пусть в области (V) задана функция u = f (x, y, z). Выберем в каждой части (V_i) произвольную точку . Составим интегральную сумму

. (1)

Предел этой суммы при d  0 называется тройным интегралом от функции u = f (x, y, z) и обозначается

В дальнейшем будем рассматривать функции f (x, y, z), ограниченные в области (V).

По аналогии с двойным интегралом можно ввести понятие верхней и нижней суммы Дарбу

и ,

где m_i и M_i  точная нижняя и точная верхняя грани функции f (x, y, z) в области (V).

Справедлив критерий интегрируемости функции f (x, y, z): функция f (x, y, z) интегрируема в кубируемой области (V) тогда и только тогда, когда выполняется равенство

или

где есть колебание функции f (x, y, z) в области (V_i).

Классы интегрируемых функций те же, что и для двойного интеграла, а именно:

1. любая непрерывная на кубируемой замкнутой области (V) функция интегрируема на этой области.

2. если функция разрывна на конечном числе поверхностей нулевого объема, содержащихся в области (V), то эта функция интегрируема в области (V).

Для тройного интеграла справедливы свойства, аналогичные свойствам, введенным для двойного интеграла.

1. Если произвольным образом изменять значения интегрируемой в области (V) функции f (x, y, z) вдоль какой-либо поверхности нулевого объема (с тем лишь условием, чтобы и изменённая функция оставалась ограниченной), то вновь полученная функция также интегрируема в (V) и ее интеграл равен интегралу от f (x, y, z) .

Таким образом, существование и величина тройного интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль конечного числа поверхностей с нулевым объемом.

2. Если (V) = (V₁) + (V₂), то

3. Если функции f (x, y, z) и g (x, y, z) интегрируемы в области (V), то функция также будет интегрируема в этой области, и при этом выполняется равенство

4. Если для интегрируемых в области (V) функций f (x, y, z) и g (x, y, z) выполняется неравенство f (x, y, z) g (x, y, z), тo

5. Если функция f (x, y, z) интегрируема в области (V), то функция | f (x, y, z) | также интегрируема в этой области, и имеет место неравенство

6. Если для интегрируемой в области (V) функции f (x, y,z) выполняется неравенство m  f (x, y, z) M, то

где   объем области (V).

7. Если функция f (x, y,z) непрерывна в области (V), то в области (V) существует точка , такая что