Решение.

Так как функция непрерывна в прямоугольнике , то двойной интеграл можно находить как по формуле (10), так и по формуле (13). Воспользуемся формулой (10)

.

7. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области

Р ассмотрим область (D), ограниченную снизу и сверху двумя непрерывными кривыми у = g₁(x), у = g₂(x), а с боков — двумя прямыми х = а и х = b (рис. 2.3). Такая область обладает следующим свойством: любая прямая, параллельная оси ОУ, пересекает область (D) не более чем в двух точках, ординаты которых g₁(x),  g₂(x), где g₁(x)   g₂(x).

Теорема 3. Если для функции z = f (x, y), определенной в области (D),

1) существует двойной интеграл ;

2) при каждом постоянном значении х из отрезка [а, b] существует определенный интеграл ;

то существует также повторный интеграл

и выполняется равенство

(15)

Доказательство.

Обозначим через (P) прямоугольник со сторонами параллельными координатным осям и содержащий в себе область (D). Пусть F (x, y)  функция, совпадающая с функцией f (x, y) в области (D), и равная нулю в остальной части прямоугольника (P). Для функции F (x, y) выполняются все условия теоремы 3, а, значит, выполняется формула (10).  Тогда

,

но, т. к.

то получим:

Следовательно,

Кроме того,

Значит, . 

З амечание 1. Если область (D) ограничена кривыми x = x₁(y), x = x₁(y), и прямыми y = c, x = d (рис. 2.4), то

. (16)

В этом случае любая прямая, параллельная оси ОХ, пересекает область (D) не более чем в двух точках, ординаты которых х₁(у) и  х₂(у), где х₁(у)  х₂(у).

Замечание 2. Так же как и в случае прямоугольной области, интеграл принято обозначать . Тогда формула (15) будет иметь вид

Пример 3. Двумя способами расставить пределы интегрирования в двойном интеграле если область (D) ограничена линиями: y = 0, y + 2x = 3, (рис. 2.5)

Решение.

Приведем двойной интеграл к повторному с внешними пределами интегрирования по переменной х. Рассмотрим прямые, проходящие через область (D) и параллельные оси ОУ. Эти прямые пересекают сначала ось ОХ, а затем или кривую , или прямую y + 2x = 3, т.е. область (D) ограничена снизу одной линией у = 0, сверху двумя линиями: y + 2x = 3,

Р азобьем область (D) прямой х = 1 на две области (D₁) и (D₂), где область (D₁) ограничена линиями: y = 0, x = 1, область (D₂) ограничена линиями: y = 0, y = 3  2x, x = 1. Тогда, по свойству 2 двойных интегралов,

Приведем двойной интеграл к повторному с внешними пределами интегрирования по переменной у. Рассмотрим прямые, проходящие через область (D) и параллельные оси ОХ. Эти прямые пересекают сначала кривую , а затем прямую y + 2x = 3, т.е. область (D) ограничена слева одной линией , которую можно задать также формулой х = у², справа прямой y + 2x = 3 (или ). Таким образом, получим

Пример 4. Найти двойной интеграл , если область (D) ограничена линиями: y = x², y = 1.