
- •Ж.В. Иванова, т.Л. Сурин, с.В. Шерегов математический анализ
- •Курс лекций
- •Содержание
- •Введение
- •I. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
- •§ 1.1. Понятие функции нескольких переменных
- •1. Понятие n – мерного евклидова пространства
- •2. Предел последовательности точек пространства Rn
- •Решение.
- •3. Понятие функции нескольких переменных
- •4. Предел функции n - переменных
- •Решение.
- •Решение.
- •5. Непрерывность функции n – переменных
- •Решение.
- •6. Основные теоремы о непрерывных функциях
- •§ 1.2 Дифференцируемость функции нескольких переменных
- •1. Частные производные функции n-переменных
- •Решение.
- •Решение.
- •2. Дифференцируемость функции n-переменных
- •Решение.
- •Решение.
- •3. Геометрический смысл частных производных и дифференцируемости функции n-переменных
- •Решение.
- •4. Дифференцируемость сложной функции
- •Решение.
- •5. Инвариантность формы первого дифференциала
- •Решение.
- •§ 1.3. Производная по направлению и градиент функции
- •1. Производная по направлению и градиент
- •Функции трех переменных
- •Решение.
- •2. Производная по направлению и градиент функции двух и n-переменных
- •§ 1.4. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Частные производные высших порядков
- •Решение.
- •Решение.
- •2. Дифференциалы высших порядков
- •3. Формула Тейлора для функции многих переменных
- •§ 1.5. Локальный экстремум
- •1. Квадратичные формы
- •2. Определение локального экстремума. Необходимые условия локального экстремума
- •3. Достаточное условие локального экстремума
- •Решение.
- •Решение.
- •4. Наибольшее и наименьшее значение функции
- •Р ешение.
- •§ 1.6. Неявные функции
- •1. Понятие неявной функции
- •2. Теорема о существовании неявной функции. Свойства неявной функции.
- •3. Неявные функции, определяемые системой уравнений
- •II. Кратные интегралы
- •§ 2.1. Двойной интеграл
- •1. Задача об объеме цилиндрического тела
- •2. Определение двойного интеграла
- •3. Условия существования двойного интеграла и классы интегрируемых функций
- •4. Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов
- •5. Повторные интегралы
- •Решение.
- •6. Приведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области
- •Решение.
- •7. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области
- •Решение.
- •Р ешение.
- •8. Замена переменных в двойном интеграле
- •Решение.
- •9. Применение двойных интегралов
- •Решение.
- •Решение.
- •Решение.
- •§ 2.2. Тройной интеграл
- •Понятие тройного интеграла
- •2. Вычисление тройного интеграла
- •Решение.
- •Решение.
- •3. Замена переменных в тройном интеграле
- •Решение.
- •Решение.
- •4. Приложения тройных интегралов
- •Р ешение.
- •Список литературы
Решение.
Так как функция
непрерывна в прямоугольнике
,
то двойной интеграл
можно находить как по формуле (10), так и
по формуле (13). Воспользуемся формулой
(10)
.
7. Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области
Р
ассмотрим
область (D), ограниченную
снизу и сверху двумя непрерывными
кривыми у = g1(x),
у = g2(x),
а с боков — двумя прямыми х = а
и х = b (рис.
2.3). Такая область обладает следующим
свойством: любая прямая, параллельная
оси ОУ, пересекает область (D)
не более чем в двух точках, ординаты
которых g1(x),
g2(x),
где g1(x)
g2(x).
Теорема 3. Если для функции z = f (x, y), определенной в области (D),
1) существует двойной интеграл
;
2) при каждом постоянном значении х
из отрезка [а, b]
существует определенный интеграл
;
то существует также повторный интеграл
и выполняется равенство
(15)
Доказательство.
Обозначим через (P) прямоугольник со сторонами параллельными координатным осям и содержащий в себе область (D). Пусть F (x, y) функция, совпадающая с функцией f (x, y) в области (D), и равная нулю в остальной части прямоугольника (P). Для функции F (x, y) выполняются все условия теоремы 3, а, значит, выполняется формула (10). Тогда
,
но, т. к.
то получим:
Следовательно,
Кроме того,
Значит,
.
З
амечание
1. Если область (D)
ограничена кривыми x = x1(y),
x = x1(y),
и прямыми y = c,
x = d
(рис. 2.4), то
.
(16)
В этом случае любая прямая, параллельная оси ОХ, пересекает область (D) не более чем в двух точках, ординаты которых х1(у) и х2(у), где х1(у) х2(у).
Замечание 2. Так же
как и в случае прямоугольной области,
интеграл
принято обозначать
.
Тогда формула (15) будет иметь вид
Пример 3. Двумя способами расставить
пределы интегрирования в двойном
интеграле
если область (D)
ограничена линиями: y
= 0, y + 2x = 3,
(рис. 2.5)
Решение.
Приведем двойной интеграл к повторному
с внешними пределами интегрирования
по переменной х. Рассмотрим прямые,
проходящие через область (D)
и параллельные оси ОУ. Эти прямые
пересекают сначала ось ОХ, а затем
или кривую
,
или прямую y + 2x = 3,
т.е. область (D) ограничена
снизу одной линией у = 0, сверху двумя
линиями: y + 2x = 3,
Р
азобьем
область (D) прямой
х = 1 на две области (D1)
и (D2), где область
(D1) ограничена
линиями: y = 0,
x = 1,
область (D2)
ограничена линиями: y = 0,
y = 3 2x,
x = 1.
Тогда, по свойству 2 двойных интегралов,
Приведем двойной интеграл к повторному
с внешними пределами интегрирования
по переменной у. Рассмотрим прямые,
проходящие через область (D)
и параллельные оси ОХ. Эти прямые
пересекают сначала кривую
,
а затем прямую y + 2x = 3,
т.е. область (D) ограничена
слева одной линией
,
которую можно задать также формулой х
= у2, справа прямой
y + 2x = 3
(или
).
Таким образом, получим
Пример 4. Найти двойной интеграл
,
если область (D)
ограничена линиями: y
= x2, y = 1.